Exercício Resolvido de Prismas
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Um prisma isósceles, de ângulo 120° e índice de refração \( \sqrt{3\;} \), tem sua base BC espelhada. Um raio luminoso, contido num plano de seção reta do prisma, paralelo à base e distando desta d, incide sobre a face AB.
a) Esboce o caminho do raio no interior do prisma e depois de emergir deste.
b) Qual é o ângulo de incidência do raio luminoso sobre a face espelhada?


Dados do problema:
  • Supondo que o prisma está imerso no ar, índice de refração do ar:    n1 = 1;
  • Índice de refração do prisma:    \( n_{2}=\sqrt{3\;} \);
Solução

a) Construção do caminho do raio de luminoso:

O raio de luz incide sobre a face AB do prisma, no ponto de incidência do raio traçamos uma linha normal a esta face (N). O ângulo do raio incidente à face AB (\( {\hat{\alpha}}_{1} \)) e o ângulo \( A\hat{B}C \) do prisma são alternos internos, temos que \( {\hat{\alpha}}_{1}=30° \). Como o ângulo \( {\hat{\alpha}}_{1} \) e o ângulo incidente î1 são complementares (somam 90º) temos que î1 = 60º (Figura 1).

Figura 1

Para sabermos o ângulo que o raio luminoso faz com a normal ao refratar para o interior do prisma devemos usar a Lei de Snell-Descartes (leia-se isnél-decárte)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {n_{1}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{1}=n_{2}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}} \]
substituindo os dados
\[ 1\operatorname{sen}60°=\sqrt{3\;}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2} \]
sendo \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} 1.\frac{\sqrt{3\;}}{2}=\sqrt{3\;}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}\\ \operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=\frac{\sqrt{3\;}}{2\sqrt{3\;}}\\ \operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=\frac{1}{2}\\ {\hat{i}}_{2}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right)\\ {\hat{i}}_{2}=30° \end{gather} \]
O ângulo entre o raio refratado e a normal N1 é de 30°, o raio luminoso passa do meio menos refringente para o mais refringente e se aproxima da normal (Figura 2).

Figura 2

O raio incide no espelho na base do prisma e reflete, traçando a normal (N2) ao espelho temos os ângulos de incidência (î) e de reflexão (\( \hat{r} \)), para determinarmos esses ângulos vamos ampliar a região em vermelho (Figura 3).

Figura 3

No triângulo ΔOBM conhecemos dois ângulos, \( O\hat{B}M=30° \) e \( B\hat{O}M=90° \), como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° temos que o ângulo \( {\hat{\alpha}}_{2}=60° \). Os ângulos \( {\hat{\alpha}}_{2} \) e \( {\hat{\beta}}_{2} \) são suplementares (a soma deles é 180°), então temos que \( {\hat{\beta}}_{2}=120° \). No triângulo ΔOMP ficam conhecidos então dois ângulos, \( M\hat{O}P=30° \) e \( {\hat{\beta}}_{2}=120° \), novamente a soma dos ângulos internos do triângulo é 180° então temos que o ângulo \( O\hat{P}M=30° \). Como os ângulos \( O\hat{P}M \) e î são complementares, obtemos que o ângulo de incidência î = 60°, como na reflexão especular os ângulos de incidência e reflexão são iguais \( \hat{r} \) também vale 60° (Figura 4).

Figura 4

Aplicando-se o mesmo raciocínio aos triângulos ΔRQP e ΔRCQ, temos que o ângulo \( R\hat{C}Q=30° \) e o ângulo \( C\hat{R}Q=90° \) e pela soma dos ângulo internos do triângulo o ângulo \( {\hat{\beta}}_{3}=60° \). Os ângulos \( {\hat{\alpha}}_{3} \) e \( {\hat{\beta}}_{3} \) são suplementares, portanto \( {\hat{\alpha}}_{3}=120° \). O ângulo \( \hat{r} \) encontrado acima vale 60º, como \( \hat{r} \) e \( R\hat{P}Q \) são complementares então \( R\hat{P}Q=30° \). No triângulo ΔRQP ficam conhecidos dois ângulos \( R\hat{P}Q=30° \) e \( {\hat{\alpha}}_{3}=120° \), para que a soma dos ângulos internos do triângulo seja 180º devemos ter \( Q\hat{R}P=30° \). Então o ângulo com que o raio de luz incide na face AC do lado interno do prisma será \( Q\hat{R}P={\hat{i}}_{2}=30° \) (Figura 5).

Figura 5

Finalmente obtemos o ângulo com que o raio luminoso emerge do prisma pela aplicando novamente a Lei de Snell-Descartes
\[ n_{2}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=n_{3}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3} \]
substituindo os dados
\[ \sqrt{3\;}\operatorname{sen}30°=1\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3} \]
sendo \( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \sqrt{3\;}.\frac{1}{2}=1\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}\\ \operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}\\ {\hat{i}}_{3}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{3\;}}{2}\right)\\ {\hat{i}}_{3}=60° \end{gather} \]
O caminho do raio será como indicado na Figura 6

Figura 6

b) O ângulo de incidência no espelho será, como calculado acima, î = 60º.
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