Um prisma isósceles, de ângulo 120° e índice de refração
\( \sqrt{3\;} \),
tem sua base BC espelhada. Um raio luminoso, contido num plano de seção reta do prisma, paralelo
à base e distando desta d, incide sobre a face AB.
a) Esboce o caminho do raio no interior do prisma e depois de emergir deste.
b) Qual é o ângulo de incidência do raio luminoso sobre a face espelhada?
Dados do problema:
- Supondo que o prisma está imerso no ar, índice de refração do ar: n1 = 1;
- Índice de refração do prisma: \( n_{2}=\sqrt{3\;} \);
Solução
a) Construção do caminho do raio de luminoso:
O raio de luz incide sobre a face
AB do prisma, no ponto de incidência do raio traçamos uma linha
normal a esta face (
N). O ângulo do raio incidente à face
AB
(
\( {\hat{\alpha}}_{1} \))
e o ângulo
\( A\hat{B}C \)
do prisma são alternos internos, temos que
\( {\hat{\alpha}}_{1}=30° \).
Como o ângulo
\( {\hat{\alpha}}_{1} \)
e o ângulo incidente
î1 são complementares (somam 90º) temos que
î1 = 60º (Figura 1).
Para sabermos o ângulo que o raio luminoso faz com a normal ao refratar para o interior do prisma devemos
usar a
Lei de Snell-Descartes (leia-se isnél-decárte)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{n_{1}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{1}=n_{2}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}}
\]
substituindo os dados
\[
1\operatorname{sen}60°=\sqrt{3\;}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}
\]
sendo
\( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
1.\frac{\sqrt{3\;}}{2}=\sqrt{3\;}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}\\
\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=\frac{\sqrt{3\;}}{2\sqrt{3\;}}\\
\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=\frac{1}{2}\\
{\hat{i}}_{2}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{1}{2}\right)\\
{\hat{i}}_{2}=30°
\end{gather}
\]
O ângulo entre o raio refratado e a normal
N1 é de 30°, o raio luminoso passa do meio menos
refringente para o mais refringente e se aproxima da normal (Figura 2).
O raio incide no espelho na base do prisma e reflete, traçando a normal (
N2) ao espelho
temos os ângulos de incidência (
î) e de reflexão
(
\( \hat{r} \)),
para determinarmos esses ângulos vamos ampliar a região em vermelho (Figura 3).
No triângulo Δ
OBM conhecemos dois ângulos,
\( O\hat{B}M=30° \)
e
\( B\hat{O}M=90° \),
como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° temos que o ângulo
\( {\hat{\alpha}}_{2}=60° \).
Os ângulos
\( {\hat{\alpha}}_{2} \)
e
\( {\hat{\beta}}_{2} \)
são suplementares (a soma deles é 180°), então temos que
\( {\hat{\beta}}_{2}=120° \).
No triângulo Δ
OMP ficam conhecidos então dois ângulos,
\( M\hat{O}P=30° \)
e
\( {\hat{\beta}}_{2}=120° \),
novamente a soma dos ângulos internos do triângulo é 180° então temos que o ângulo
\( O\hat{P}M=30° \).
Como os ângulos
\( O\hat{P}M \)
e
î são complementares, obtemos que o ângulo de incidência
î = 60°, como na reflexão especular os
ângulos de incidência e reflexão são iguais
\( \hat{r} \)
também vale 60° (Figura 4).
Aplicando-se o mesmo raciocínio aos triângulos Δ
RQP e Δ
RCQ, temos que o ângulo
\( R\hat{C}Q=30° \)
e o ângulo
\( C\hat{R}Q=90° \)
e pela soma dos ângulo internos do triângulo o ângulo
\( {\hat{\beta}}_{3}=60° \).
Os ângulos
\( {\hat{\alpha}}_{3} \)
e
\( {\hat{\beta}}_{3} \)
são suplementares, portanto
\( {\hat{\alpha}}_{3}=120° \).
O ângulo
\( \hat{r} \)
encontrado acima vale 60º, como
\( \hat{r} \)
e
\( R\hat{P}Q \)
são complementares então
\( R\hat{P}Q=30° \).
No triângulo Δ
RQP ficam conhecidos dois ângulos
\( R\hat{P}Q=30° \)
e
\( {\hat{\alpha}}_{3}=120° \),
para que a soma dos ângulos internos do triângulo seja 180º devemos ter
\( Q\hat{R}P=30° \).
Então o ângulo com que o raio de luz incide na face
AC do lado interno do prisma será
\( Q\hat{R}P={\hat{i}}_{2}=30° \)
(Figura 5).
Finalmente obtemos o ângulo com que o raio luminoso emerge do prisma pela aplicando novamente a
Lei de Snell-Descartes
\[
n_{2}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=n_{3}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}
\]
substituindo os dados
\[
\sqrt{3\;}\operatorname{sen}30°=1\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}
\]
sendo
\( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
\sqrt{3\;}.\frac{1}{2}=1\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}\\
\operatorname{sen}{\hat{i}}_{3}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}\\
{\hat{i}}_{3}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{3\;}}{2}\right)\\
{\hat{i}}_{3}=60°
\end{gather}
\]
O caminho do raio será como indicado na Figura 6
b) O ângulo de incidência no espelho será, como calculado acima,
î = 60º.