Exercício Resolvido de Lentes
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Um sistema óptico é formado por duas lentes delgadas justapostas. Uma das lentes é biconvexa de raios de curvatura 10 cm e 5 cm e índice de refração 1,7, a outra é convexo-côncava de raios de curvatura 10 cm e 20 cm e índice de refração 1,5. Calcular a altura da imagem de um objeto de 2 cm de altura a 10 cm de distância colocado normalmente ao eixo principal das lentes.


Dados do problema:
  • Raios de curvatura (usando a convenção de que para a superfície convexa o raio é positivo e para a superfície côncava o raio é negativo), lente biconvexa.
    • Superfície convexa:    R1 = 10 cm;
    • Superfície convexa:    R2 = 5 cm;
    • Índice de refração:    nA = 1,7;
  • Raios de curvatura lente convexo-côncava.
    • Superfície côncava:    R3 = −10 cm;
    • Superfície convexa:    R4 = 20 cm;
    • Índice de refração:    nB = 1,5;
  • Altura do objeto:    o = 2 cm;
  • Distância do objeto à lente:    p = 10 cm.
Esquema do problema:

Adotando-se a convenção de sinais onde do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real (p > 0) e negativa para a imagem virtual (p' < 0), do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa (p < 0) e positiva para a imagem real (p' > 0), Figura 1.

Figura 1

Solução

Convertendo os raios de curvatura das lentes, o tamanho do objeto e a distância do objeto à lente, dadas em centímetros (cm), para metros (m)
\[ \begin{gather} R_{1}=10\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,1\;\text{m}\\[5pt] R_{2}=5\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,05\;\text{m}\\[5pt] R_{3}=-10\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=-0,1\;\text{m}\\[5pt] R_{4}=20\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,2\;\text{m}\\[5pt] o=2\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,02\;\text{m}\\[5pt] p=10\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,1\;\text{m} \end{gather} \]
Para uma associação de lentes a convergência do sistema será a soma das convergências de cada lente
\[ \begin{gather} C=C_{A}+C_{B} \tag{I} \end{gather} \]
A distância focal é dada pela Fórmula dos Fabricantes de Lentes ou Equação de Halley
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)} \tag{II} \end{gather} \]
A convergência é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{1}{f}} \tag{III} \end{gather} \]
igualando as expressões (II) e (III) a convergência pode ser calculada por
\[ \begin{gather} C=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right) \tag{IV} \end{gather} \]
Para a primeira lente (biconvexa – Figura 2) o índice de refração da lente é \( n_{2}=n_{A}=1,7 \), o índice de refração do ar \( n_{1}=1 \), aplicando a expressão (IV)
\[ \begin{gather} C_{A}=\left(\frac{n_{A}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\\[5pt] C_{A}=\left(\frac{1,7}{1}-1\right)\left(\frac{1}{0,1}+\frac{1}{0,05}\right)\\[5pt] C_{A}=0,7.(10+20)\\[5pt] C_{A}=0,7.30\\[5pt] C_{A}=21\;\text{di} \end{gather} \]
Figura 2

Para a segunda lente (convexo-côncava – Figura 3) o índice de refração da lente é \( n_{2}=n_{B}=1,5 \), pela expressão (IV)
\[ \begin{gather} C_{B}=\left(\frac{n_{B}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}}\right)\\[5pt] C_{B}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(-{\frac{1}{0,1}}+\frac{1}{0,2}\right)\\[5pt] C_{A}=0,5.(-10+5)\\[5pt] C_{A}=0,5.(-5)\\[5pt] C_{A}=-2,5\;\text{di} \end{gather} \]
Figura 3

Pela expressão (I) a convergência da associação será
\[ \begin{gather} C=21+(-2,5)\\ C=18,5\;\text{di} \end{gather} \]
Usando a Equação dos Pontos Conjugados
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (V)
\[ \begin{gather} C=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a convergência calculada acima e a distância do objeto à lente dada no problema
\[ \begin{gather} 18,5=\frac{1}{0,1}+\frac{1}{p'}\\18,5=10+\frac{1}{p'}\\ \frac{1}{p'}=18,5-10\\ \frac{1}{p'}=8,5\\ p'=\frac{1}{8,5}\\ p'=0,12\;\text{m} \end{gather} \]
Aplicando a Equação do Aumento Linear com os dados obtidos temos o tamanho da imagem
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=\frac{-{p'}}{p}} \]
\[ \begin{gather} \frac{i}{0,02}=\frac{-{0,12}}{0,1}\\ i=\frac{-{0,02.0,12}}{0,1}\\ i=\frac{-{0,0024}}{0,1} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i=-0,024\;\text{m}=-2,4\;\text{cm}} \]

Observação: O sinal de negativo da imagem indica que ela é invertida.
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