Exercício Resolvido de Lentes
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Um objeto situado a 40 cm de uma lente biconvexa produziu uma imagem a certa distância. Fazendo o objeto avançar de 10 cm em direção a lente, a imagem conservou a sua natureza e sua distância a lente tornou-se 3/2 da anterior. Calcular:
a) A sua distância focal e a convergência da lente;
b) Os raios de curvatura da mesma, supondo-os iguais e sendo seu índice de refração 1,5.
Dados do problema:
- Distância do objeto à lente: p1 = 40 cm;
- Deslocamento do objeto em direção à lente: d = 10 cm;
- Distância da imagem à lente na situação 2 em relação à situação; \( p'_{2}=\dfrac{3}{2}p'_{1} \).
Adotando-se a convenção de sinais, onde do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real (p > 0) e negativa para a imagem virtual (p' < 0), do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa (p < 0) e positiva para a imagem real (p' > 0), Figura 1.
Inicialmente o objeto está a 40 cm da lente, supõe-se a imagem real, maior e invertida a uma distância \( p'_{1} \). Quando o objeto é aproximado de 10 cm sua distância ao espelho é \( p_{2}=p_{1}-d=40-10=30\;\text{cm} \), a imagem mantém a mesma natureza, mas sua distância se torna \( p'_{2}=\frac{3}{2}p'_{1} \).
Solução
Usando a Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{I}
\end{gather}
\]
aplicando para as duas situações apresentadas no problema
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p'_{1}}\\
\frac{1}{f}=\frac{1}{40}+\frac{1}{p'_{1}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p'_{2}}\\
\frac{1}{f}=\frac{1}{30}+\frac{1}{\frac{3}{2}p'_{1}}\\
\frac{1}{f}=\frac{1}{30}+\frac{2}{3p'_{1}} \tag{III}
\end{gather}
\]
igualando as expressões (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{40}+\frac{1}{p'_{1}}=\frac{1}{30}+\frac{2}{3p'_{1}}\\
\frac{1}{p'_{1}}-\frac{2}{3p'_{1}}=\frac{1}{30}-\frac{1}{40}
\end{gather}
\]
do lado esquerdo da igualdade o fator comum entre
\( p'_{1} \)
e
\( 3p'_{1} \)
é
\( 3p'_{1} \),
do lado direito da igualdade o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 40 é 120
\[
\begin{gather}
\frac{3-2}{3p'_{1}}=\frac{4-3}{120}\\
\frac{1}{3p'_{1}}=\frac{1}{120}\\
3p'_{1}=120\\
p'_{1}=\frac{120}{3}\\
p'_{1}=40\;\text{cm}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão (II) temos o valor do foco
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1}{40}+\frac{1}{40}\\
\frac{1}{f}=\frac{2}{40}\\f=\frac{40}{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{f=20\;\text{cm}}
\]
A convergência de uma lente é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{1}{f}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Convertendo o valor do foco dado em centímetros (cm) para metros (m) usado no Sistema Internacional
(SI)
\[
f=20\;\cancel{\text{cm}}\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,2\;\text{m}
\]
substituindo este valor do foco na expressão (IV)
\[
C=\frac{1}{0,2}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{C=5\;\text{di}}
\]
b) Usando a Fórmula dos Fabricantes de Lentes ou Equação de Halley para lentes delgadas
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)}
\]
cono os raios de curvatura são iguais,
\( R_{1}=R_{2}=R \),
o índice de refração da lente é
\( n=n_{2}=1,5 \),
o índice de refração do ar
\( n_{1}=1 \)
e usando a distância focal calculada no item (a)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{20}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right)\\
0,05=0,5\left(\frac{2}{R}\right)\\
0,05=\frac{1}{R}\\
R=\frac{1}{0,05}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{R=20\;\text{cm}}
\]
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