Exercício Resolvido de Lentes
publicidade

Os raios de curvatura de uma lente delgada biconvexa são 12 cm e 8 cm e seu índice de refração é de 1,5. Calcular a que distância deve ser colocado um objeto para que:
a) A imagem seja invertida, real e tenha metade do tamanho do objeto;
b) A imagem seja direita, real e tenha quatro vezes o tamanho do objeto.

Dados do problema:

  • Raios de curvatura (usando a convenção de que para a superfície convexa o raio é positivo).
    • Superfície 1: R1 = 12 cm;
    • Superfície 2: R2 = 8 cm;
  • Índice de refração da lente: n = 1,5.

Esquema do problema:

Adotando-se a convenção de sinais onde do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real (p > 0) e negativa para a imagem virtual (p' < 0), do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa (p < 0) e positiva para a imagem real (p' > 0).

Figura 1

Solução:

Calculando a distância focal (f) da lente dada pela Fórmula dos Fabricantes de Lentes ou Equação de Halley para lentes delgadas

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)} \]

sendo o índice de refração da lente n = n2 = 1,5 e o índice de refração do ar n1 = 1, substituindo os dados

\[ \frac{1}{f}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{8}\right) \]

o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 12 e 8 é 24

\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=0,5.\left(\frac{2+3}{24}\right)\\ \frac{1}{f}=0,5.\frac{5}{24}\\ \frac{1}{f}=\frac{2,5}{24}\\ f=\frac{24}{2,5}\\ f=9,6\;\text{cm} \tag{I} \end{gather} \]

a) Para que a imagem seja invertida e tenha metade do tamanho do objeto devemos ter a condição

\[ i=-{\frac{o}{2}} \]

onde o sinal negativo indica que a imagem está invertida.
A Equação do Aumento Linear é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=-\frac{p'}{p}} \tag{II} \end{gather} \]

Usando p' > 0 (imagem real) e a condição acima temos na segunda igualdade

\[ \begin{gather} \frac{-{\frac{o}{2}}}{o}=-{\frac{p'}{p}}\\ -{\frac{o}{2o}}=-{\frac{p'}{p}}\\ \frac{1}{2}=\frac{p'}{p}\\ \frac{1}{p'}=\frac{2}{p} \tag{III} \end{gather} \]

Para calcular a posição do objeto usamos a Equação dos Pontos Conjugados

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo as equações (I) e (III) na equação (IV)

\[ \begin{gather} \frac{1}{9,6}=\frac{1}{p}+\frac{2}{p}\\ \frac{1}{9,6}=\frac{3}{p}\\ p=3.9,6 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=28,8\;\text{cm}} \]

b) Para que a imagem seja direita e tenha quatro vezes o tamanho do objeto devemos ter a condição

\[ i=4 o \]

para a imagem direita seu sinal deve ser positivo. Usando a equação (II) com p' > 0 (imagem real) e a condição acima

\[ \begin{gather} \frac{4o}{o}=-{\frac{p'}{p}}\\ 4=-{\frac{p'}{p}}\\ \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{4p}} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo as equações (I) e (V) na equação (IV)

\[ \frac{1}{9,6}=\frac{1}{p}-\frac{1}{4p} \]

o fator comum entre p e 4p é 4p

\[ \begin{gather} \frac{1}{9,6}=\frac{4-1}{4p}\\ \frac{1}{9,6}=\frac{3}{4p}\\ 4p=3.9,6\\p=\frac{28,8}{4} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=7,2\;\text{cm}} \]
publicidade