Os raios de curvatura de uma lente delgada biconvexa são 12 cm e 8 cm e seu índice de refração é de 1,5.
Calcular a que distância deve ser colocado um objeto para que:
a) A imagem seja invertida, real e tenha metade do tamanho do objeto;
b) A imagem seja direita, real e tenha quatro vezes o tamanho do objeto.
Dados do problema:
- Raios de curvatura (usando a convenção de que para a superfície convexa o raio é positivo).
- Superfície 1: R1 = 12 cm;
- Superfície 2: R2 = 8 cm;
- Índice de refração da lente: n = 1,5.
Esquema do problema:
Adotando-se a convenção de sinais onde do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real
(
p > 0) e negativa para a imagem virtual (
p' < 0), do lado oposto temos a abscissa do
objeto virtual negativa (
p < 0) e positiva para a imagem real (
p' > 0).
Solução
Calculando a distância focal (
f) da lente dada pela
Fórmula dos Fabricantes de Lentes ou
Equação de Halley para lentes delgadas
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)}
\]
sendo o índice de refração da lente
n =
n2 = 1,5 e o índice de refração do ar
n1 = 1, substituindo os dados
\[
\frac{1}{f}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{8}\right)
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 12 e 8 é 24
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=0,5.\left(\frac{2+3}{24}\right)\\
\frac{1}{f}=0,5.\frac{5}{24}\\
\frac{1}{f}=\frac{2,5}{24}\\
f=\frac{24}{2,5}\\
f=9,6\;\text{cm} \tag{I}
\end{gather}
\]
a) Para que a imagem seja invertida e tenha metade do tamanho do objeto devemos ter a condição
\[
i=-{\frac{o}{2}}
\]
onde o sinal negativo indica que a imagem está invertida.
A
Equação do Aumento Linear é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\frac{i}{o}=-\frac{p'}{p}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Usando
p' > 0 (imagem real) e a condição acima temos na segunda igualdade
\[
\begin{gather}
\frac{-{\frac{o}{2}}}{o}=-{\frac{p'}{p}}\\
-{\frac{o}{2o}}=-{\frac{p'}{p}}\\
\frac{1}{2}=\frac{p'}{p}\\
\frac{1}{p'}=\frac{2}{p} \tag{III}
\end{gather}
\]
Para calcular a posição do objeto usamos a
Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (III) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{9,6}=\frac{1}{p}+\frac{2}{p}\\
\frac{1}{9,6}=\frac{3}{p}\\
p=3.9,6
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p=28,8\;\text{cm}}
\]
b) Para que a imagem seja direita e tenha quatro vezes o tamanho do objeto devemos ter a condição
\[
i=4 o
\]
para a imagem direita seu sinal deve ser positivo. Usando a expressão (II) com
p' > 0 (imagem real) e a
condição acima
\[
\begin{gather}
\frac{4o}{o}=-{\frac{p'}{p}}\\
4=-{\frac{p'}{p}}\\
\frac{1}{p'}=-{\frac{1}{4p}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (V) na expressão (IV)
\[
\frac{1}{9,6}=\frac{1}{p}-\frac{1}{4p}
\]
o fator comum entre
p e 4
p é 4
p
\[
\begin{gather}
\frac{1}{9,6}=\frac{4-1}{4p}\\
\frac{1}{9,6}=\frac{3}{4p}\\
4p=3.9,6\\p=\frac{28,8}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p=7,2\;\text{cm}}
\]