Exercício Resolvido de Lentes
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Calcular a que distância de uma lente, de convergência 2 dioptrias, deve ser posto um objeto para produzir uma imagem duas vezes maior do que o objeto.

Dados do problema:

  • Relação entre o tamanho da imagem e do objeto: i = 2o;
  • Convergência da lente: C = 2 di.

Solução:

A convergência de uma lente é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{1}{f}} \tag{I} \end{gather} \]

A Equação dos Pontos Conjugados é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (I) na equação (II)

\[ \begin{gather} C=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \tag{III} \end{gather} \]

A Equação do Aumento Linear é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{IV} \end{gather} \]

isolando o valor de \( \dfrac{1}{p'} \) na segunda igualdade da equação (IV) e substituindo a relação de tamanho entre a imagem e o objeto dada no problema

\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=-{\frac{o}{ip}}\\ \frac{1}{p'}=-{\frac{o}{2op}}\\ \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{2p}} \tag{V} \end{gather} \]

Como o problema nada diz a respeito da natureza da imagem há dois casos a serem analisados, a imagem pode ser real (p' > 0) e imagem virtual (p' < 0).
Para o primeiro caso, imagem real (p' > 0), substituímos (V) em (III) e o valor da convergência dada no problema

\[ 2=\frac{1}{p}-\frac{1}{2p} \]

colocando o temo \( \dfrac{1}{p} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 2=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{2}\right)\\ 2=\frac{1}{p}\left(\frac{2-1}{2}\right)\\ p=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\\ p=\frac{1}{4} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=0,25\;\text{m}} \]

Para o segundo caso, imagem virtual (p' < 0), reescrevemos a equação (V) como

\[ \begin{gather} \frac{1}{-p'}=-{\frac{1}{2p}\;}\\ \frac{1}{p'}=\frac{1}{2p} \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo a equação (VI) na equação (III) e o valor da convergência dada no problema

\[ 2=\frac{1}{p}+\frac{1}{2p} \]

colocando o temo \( \dfrac{1}{p} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 2=\frac{1}{p}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ 2=\frac{1}{p}\left(\frac{2+1}{2}\right)\\ p=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}\\ p=\frac{3}{4} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=0,75\;\text{m}} \]
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