Exercício Resolvido de Lentes

Um objeto de comprimento 4 cm é colocado normalmente ao eixo principal de um espelho esférico côncavo a 60 cm do seu vértice. A imagem conjugada pelo espelho é real, invertida e de comprimento 2 cm.
a) Calcule a distância focal do espelho e a distância entre o objeto e sua imagem;
b) Mantendo-se fixa a posição do objeto deseja-se obter uma imagem com as mesmas características, mas usando uma lente L. Calcular a distância focal da lente e a distância da lente ao objeto;
c) Usando uma lente L₁ de convergência 5 dioptrias, determinar a distância focal e o tipo de uma lente L₂ que deve ser colada a L₁ para que o conjunto substitua L.

Dados do problema:

Comprimento do objeto: o = 4 cm;
Distância do objeto ao espelho: p = 60 cm;
Comprimento da imagem: i = −2 cm;
Convergência da lente L₁: C = 5 di.

Esquema do problema:

Adota-se um Referencial de Gauss com orientação positiva para a esquerda, de onde vem a luz, e para cima (Figura 1).

Figura 1

Solução:

a) Usando a Equação do Aumento Linear encontramos a distância da imagem ao espelho (p')

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{I} \end{gather} \]

substituindo os valores na última igualdade

\[ \begin{gather} \frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{60}}\\ p'=-{\frac{(-2).60}{4}}\\ p'=\frac{120}{4}\\ p'=30\;\text{cm} \end{gather} \]

A distância entre o objeto e a imagem, será

\[ p-p'=60-30 \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p-p'=30\;\text{cm}} \]

Usando a Equação dos Pontos Conjugados encontramos a distância focal

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{60}+\frac{1}{30} \]

o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 60 e 30 é 60

\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1+2}{60}\\ \frac{1}{f}=\frac{3}{60}\\ f=\frac{60}{3} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=20\;\text{cm}} \]

b) Esquecendo o espelho, mantendo as posições e os tamanhos do objeto e da imagem iguais, temos a seguinte situação

Figura 2

Usando a equação (I) achamos a relação entre as distâncias do objeto e da imagem à lente

\[ \begin{gather} \frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{p}}\\ p=-{\frac{4p'}{-2}}\\ p=2p \tag{III} \end{gather} \]

A distância do objeto à imagem deve continuar a ser 30 cm (Figura 2)

\[ \begin{gather} p+p'=30 \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (IV)

\[ \begin{gather} 2p'+p'=30\\ 3p'=30\\ p'=\frac{30}{3}\\ p'=10\;\text{cm} \end{gather} \]

A equação (III) nos fornece a distância da lente ao objeto

\[ p=2.10 \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=20\;\text{cm}} \]

Usando a equação (II) temos a distância focal da lente

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{20}+\frac{1}{10} \]

o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 20 e 10 é 20

\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1+2}{20}\\ \frac{1}{f}=\frac{3}{20}\\ f=\frac{20}{3} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=6,67\;\text{cm}} \]

c) Em primeiro lugar devemos converter a distância focal da lente (L), encontrada no item (b), de centímetros (cm) para metros (m).

\[ f=6,67\;\cancel{\text{cm}}\frac{10^{-2}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{cm}}}=0,0667\;\text{m} \]

A convergência ou vergência da lente L é dada pelo inverso da distância focal

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{1}{f}} \tag{V} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} C=\frac{1}{0,0667}\\ C=15\;\text{di} \end{gather} \]

Figura 3

Numa associação de lente, a convergência é dada pela soma das convergências

\[ \begin{gather} C=C_{1}+C_{2}\\ 15=5+C_{2}\\ C_{2}=15-5\\ C_{2}=10\;\text{di} \end{gather} \]

A distância focal de C₂ será encontrada invertendo a equação (V)

\[ \begin{gather} f=\frac{1}{C}\\ f=\frac{1}{10}\\ f=0,1\;\text{m} \end{gather} \]

convertendo a distância focal de metros (m) para centímetros (cm)

\[ f=0,1\;\cancel{\text{m}}\frac{100\;\text{cm}}{1\;\cancel{\text{m}}}=10\;\text{cm} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=10\;\text{cm}} \]

Como a convergência é positiva (C₂ > 0) a lente L₂ deve ser convergente.