Exercício Resolvido de Lentes
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Um objeto de comprimento 4 cm é colocado normalmente ao eixo principal de um espelho esférico côncavo a 60 cm do seu vértice. A imagem conjugada pelo espelho é real, invertida e de comprimento 2 cm.
a) Calcule a distância focal do espelho e a distância entre o objeto e sua imagem;
b) Mantendo-se fixa a posição do objeto deseja-se obter uma imagem com as mesmas características, mas usando uma lente L. Calcular a distância focal da lente e a distância da lente ao objeto;
c) Usando uma lente L1 de convergência 5 dioptrias, determinar a distância focal e o tipo de uma lente L2 que deve ser colada a L1 para que o conjunto substitua L.


Dados do problema:
  • Comprimento do objeto:    o = 4 cm;
  • Distância do objeto ao espelho:    p = 60 cm;
  • Comprimento da imagem:    i = −2 cm;
  • Convergência da lente L1:    C = 5 di.
Esquema do problema:

Adota-se um Referencial de Gauss com orientação positiva para a esquerda, de onde vem a luz, e para cima (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) Usando a Equação do Aumento Linear encontramos a distância da imagem ao espelho (p')
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{I} \end{gather} \]
substituindo os valores na última igualdade
\[ \begin{gather} \frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{60}}\\ p'=-{\frac{(-2).60}{4}}\\ p'=\frac{120}{4}\\ p'=30\;\text{cm} \end{gather} \]
A distância entre o objeto e a imagem, será
\[ p-p'=60-30 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p-p'=30\;\text{cm}} \]
Usando a Equação dos Pontos Conjugados encontramos a distância focal
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{60}+\frac{1}{30} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 60 e 30 é 60
\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1+2}{60}\\ \frac{1}{f}=\frac{3}{60}\\ f=\frac{60}{3} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=20\;\text{cm}} \]

b) Esquecendo o espelho, mantendo as posições e os tamanhos do objeto e da imagem iguais, temos a seguinte situação

Figura 2

Usando a expressão (I) achamos a relação entre as distâncias do objeto e da imagem à lente
\[ \begin{gather} \frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{p}}\\ p=-{\frac{4p'}{-2}}\\ p=2p \tag{III} \end{gather} \]
A distância do objeto à imagem deve continuar a ser 30 cm (Figura 2)
\[ \begin{gather} p+p'=30 \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} 2p'+p'=30\\ 3p'=30\\ p'=\frac{30}{3}\\ p'=10\;\text{cm} \end{gather} \]
A expressão (III) nos fornece a distância da lente ao objeto
\[ p=2.10 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=20\;\text{cm}} \]
Usando a expressão (II) temos a distância focal da lente
\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{20}+\frac{1}{10} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 20 e 10 é 20
\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1+2}{20}\\ \frac{1}{f}=\frac{3}{20}\\ f=\frac{20}{3} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=6,67\;\text{cm}} \]

c) Em primeiro lugar devemos converter a distância focal da lente (L), encontrada no item (b), de centímetros (cm) para metros (m).
\[ f=6,67\;\cancel{\text{cm}}\frac{10^{-2}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{cm}}}=0,0667\;\text{m} \]
A convergência ou vergência da lente L é dada pelo inverso da distância focal
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{1}{f}} \tag{V} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C=\frac{1}{0,0667}\\ C=15\;\text{di} \end{gather} \]
Figura 3

Numa associação de lente, a convergência é dada pela soma das convergências
\[ \begin{gather} C=C_{1}+C_{2}\\ 15=5+C_{2}\\ C_{2}=15-5\\ C_{2}=10\;\text{di} \end{gather} \]
A distância focal de C2 será encontrada invertendo a expressão (V)
\[ \begin{gather} f=\frac{1}{C}\\ f=\frac{1}{10}\\ f=0,1\;\text{m} \end{gather} \]
convertendo a distância focal de metros (m) para centímetros (cm)
\[ f=0,1\;\cancel{\text{m}}\frac{100\;\text{cm}}{1\;\cancel{\text{m}}}=10\;\text{cm} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=10\;\text{cm}} \]
Como a convergência é positiva (C2 > 0) a lente L2 deve ser convergente.
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