Exercício Resolvido de Lentes
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Um objeto real de 6 cm de altura é colocado perpendicularmente ao eixo principal de uma lente divergente de distância focal igual a 150 cm, o objeto está a 300 cm do centro óptico da lente. Determine:
a) A posição e o tamanho da imagem;
b) O aumento linear transversal da imagem.

Dados do problema:

  • Altura do objeto: o = 6 cm;
  • Distância focal da lente: f = −150 cm
  • Distância do objeto à lente: p = 300 cm.

Construção da imagem:

Adota-se um Referencial de Gauss com orientação positiva para a esquerda, de onde vem a luz, e para cima (Figura 1).

Figura 1

Usando a propriedade de que todo raio que incide paralelamente ao eixo principal emerge passando pelo foco principal imagem F', temos um raio que sai do objeto e atinge a lente, ligando este ponto com F' temos a direção com que o raio sairá do outro lado da lente (Figura 2).

Figura 2

Usando a propriedade de que todo raio que incide numa direção que passa pelo centro ótico da lente não sofre desvio, do cruzamento deste raio com o prolongamento do raio obtido anteriormente temos a posição da imagem i (Figura 3).

Figura 3

Esquema do problema:

Figura 4

Solução:

a) Como a lente é divergente   f < 0, a distância da imagem é calculada pela Equação dos Pontos Conjugados

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{1}{-150}=\frac{1}{300}+\frac{1}{p'}\\[5pt] \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{150}}-\frac{1}{300} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo por 2 o primeiro termo do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{150}}.\frac{2}{2}-\frac{1}{300}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{-2-1}{300}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{-3}{300}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{-1}{100} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p'=-100\;\text{cm}} \end{gather} \]

O tamanho da imagem será dado pela Equação do Amento Linear

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \end{gather} \]

substituindo os valores na última igualdade

\[ \begin{gather} \frac{i}{6}=-{\frac{-100}{300}}\\[5pt] i=-{\frac{-6.100}{300}}\\[5pt] i=\frac{600}{300} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=2\;\text{cm}} \end{gather} \]

O que concorda com o esquema do problema, a imagem é virtual  p' < 0, e menor que o objeto.

b) O aumento linear transversal é obtido pela aplicação da primeira igualdade da equação acima

\[ \begin{gather} A=\frac{2}{6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A=\frac{1}{3}} \end{gather} \]

A imagem possui \( \dfrac{1}{3} \) do tamanho do objeto.

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