Em um microscópio composto a distância focal da objetiva é de 2 mm e a da ocular 10 mm. O comprimento do
tubo que sustenta as lentes vale 18 cm. A imagem final do sistema forma-se a 50 cm da ocular. Determine:
a) O aumento linear transversal da objetiva e da ocular;
b) O aumento linear transversal do microscópio;
Dados do problema:
- Distância focal da objetiva: f1 = 2 mm;
- Distância focal da ocular: f2 = 10 mm;
- Distância da imagem à ocular: p'2 = −50 cm;
- Distância entre as lentes: d = 18 cm.
Construção da imagem:
Usando as propriedade de que
todo raio que incide em uma direção que passe pelo centro óptico da lente
não sofre desvio (Figura 1), vemos um raio de luz que passa pelo centro óptico da objetiva
O1
Usando a propriedade de que
todo raio que incide paralelamente ao eixo principal, emerge passando pelo
foco principal imagem F', temos um segundo raio de luz paralelo sai pelo foco
F'1.
Do cruzamento dos dois raios temos o ponto onde se forma a imagem
i1 da objetiva
(Figura 2).
A imagem
i1 da objetiva passa a ser objeto
o2 para a ocular,
\( i_{1}\equiv o_{2} \). Novamente um raio que passa pelo centro óptico, agora da ocular,
O2, não sofre desvio
(Figura 3).
De novo um raio paralelo sai pelo foco imagem, agora da ocular
F'2 (Figura 4).
Estes dois raios não determinam uma imagem do lado do observador. Para determinar a imagem é necessário
prolongar estes raios para o lado do objeto
o2, do cruzamento deles temos a imagem
i2 aumentada (Figura 5).
Esquema do problema:
Adotamos um
Referencial de Gauss, do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto
real,
p > 0, e negativa para a imagem virtual,
p' < 0, do lado oposto temos a abscissa
do objeto virtual negativa,
p < 0, e positiva para a imagem real,
p' > 0.
A imagem
i1 possui abscissa positiva, está atrás da lente objetiva
p'1 > 0, imagem real), ela é também objeto para a lente ocular, como está na frente
da lente possui abscissa positiva,
p2 > 0, objeto real), a imagem
i2
está na frente da lente ocular, é uma imagem virtual e possui abscissa negativa
p'2 < 0.
Solução
a) Em primeiro lugar vamos converter todas as unidades para centímetros (cm)
\[
\begin{gather}
f_{1}=2\;\text{mm}=2.10^{-1}\;\text{cm}=0,2\;\text{cm}\\[10pt]
f_{2}=10\;\text{mm}=10.10^{-1}\;\text{cm}=1\;\text{cm}
\end{gather}
\]
Para encontrar
p2 usamos a
Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\end{gather}
\]
aplicando à segunda lente (ocular)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{f_{2}}-\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{(-50)}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=1+\frac{1}{50}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 50 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p_{2}}=\frac{50}{50}.1+\frac{1}{50}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{50+1}{50}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{51}{50}\\[5pt]
p_{2}=\frac{50}{51} \tag{I}\\[5pt]
p_{2}=0,98\;\text{cm}
\end{gather}
\]
o aumento da ocular
Aoc é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A_{oc}=\frac{i_{2}}{o_{2}}=-{\frac{p'_{2}}{p_{2}}}}
\end{gather}
\]
usando para
p2 o valor dado por (I)
\[
\begin{gather}
A_{oc}=-{\frac{(-50)}{\dfrac{50}{51}}}\\[5pt]
A_{oc}=\cancel{50}.\frac{51}{\cancel{50}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{A_{oc}=51}
\end{gather}
\]
O comprimento do tubo será a soma da distância da objetiva à imagem,
\( i_{1}\equiv o_{2} \),
p'1, com a distância do objeto
\( i_{1}\equiv o_{2} \)
à ocular,
p2 (Figura 6).
\[
\begin{gather}
d=p'_{1}+p_{2}\\[5pt]
18=p'_{1}+0,98\\[5pt]
p'_{1}=18-0,98\\[5pt]
p'_{1}=17,02\;\text{cm}
\end{gather}
\]
Aplicando a
Equação dos Pontos Conjugados encontramos a distância do objeto
i1 à objetiva
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p'_{1}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{p'_{1}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{0,2}-\frac{1}{17,02}
\end{gather}
\]
escrevendo
\( 0,2=\frac{2}{10} \)
e
\( 17,02=\frac{1702}{100} \)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{\dfrac{2}{10}}+\frac{1}{\dfrac{1702}{100}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{1}}=\frac{10}{2}+\frac{100}{1702}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 851 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p_{1}}=\frac{8510-100}{1702}\\[5pt]
\frac{1}{p_{1}}=\frac{8410}{1702}\\[5pt]
p_{1}=\frac{1702}{8410} \tag{II}\\[5pt]
p_{1}\approx 0,2\;\text{cm}
\end{gather}
\]
o aumento da objetiva
Aob é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A_{ob}=\frac{i_{1}}{o_{1}}=-{\frac{p'_{1}}{p_{1}}}}
\end{gather}
\]
usando para
p1 o valor dado por (II)
\[
\begin{gather}
A_{ob}=-{\frac{\dfrac{1702}{100}}{\dfrac{1702}{8410}}}\\[5pt]
A_{ob}=-{\frac{\cancel{1702}}{100}.\frac{8410}{\cancel{1702}}}\\[5pt]
A_{ob}=-{\frac{8410}{100}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{A_{ob}=-84,1}
\end{gather}
\]
b) O aumento do microscópio será
\[
\begin{gather}
A=A_{ob}.A_{oc}\\[5pt]
A=(-84,1).51
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{A=-4289,1}
\end{gather}
\]