Um espelho plano se afasta de um observador, em repouso em relação à Terra, com velocidade constante de
translação igual a v. Determine a velocidade da imagem em relação:
a) Ao observador;
b) Ao espelho.
Dado do problema:
- Velocidade do espelho: v.
Construção da imagem:
Inicialmente o espelho está numa posição E1 em relação ao observador O, então
desenhamos a imagem a esta mesma distância atrás do espelho, temos
\( \overline{{OE}_1}=\overline{E_1I_{1}} \)
(Figura 1-A.)
Após o espelho se deslocar para uma nova posição E2 desenhamos a imagem a esta mesma
distância, assim
\( \overline{{OE}_2}=\overline{E_2I_{2}} \)
(Figura 1-B.)
Esquema do problema:
Na situação inicial o espelho se encontra na posição E1 em relação ao observador
O, a uma distância
\( \overline{{OE}_1} \),
e a imagem se encontra na posição I1 em relação ao observador O, a distância
\( \overline{{OI}_1} \),
onde
(\( \overline{{OI}_1}=2\overline{{OE}_1} \)),
pela Figura 1-A e Figura 2.
Após um intervalo de tempo Δt o espelho se desloca a uma velocidade v até uma posição
E2 em relação ao observador O, a uma distância
\( \overline{{OE}_2} \)
e a imagem se encontra na posição I2 em relação ao observador O, a distância
\( \overline{{OI}_2} \)
onde
(\( \overline{{OI}_2}=2\overline{{OE}_2} \)),
pela Figura 1-B e Figura 2.
Solução:
a) O deslocamento da imagem será
\[
\begin{gather}
D=\overline{{OI}_2}-\overline{{OI}_1}
\end{gather}
\]
pelo esquema do problema podemos reescrever
\[
\begin{gather}
D=2\overline{{OE}_2}-2\overline{{OE}_1}
\end{gather}
\]
colocando o fator 2 em evidência
\[
\begin{gather}
D=2(\overline{{OE}_2}-\overline{{OE}_1}) \tag{I}
\end{gather}
\]
O deslocamento do espelho será
\[
\begin{gather}
d=\overline{{OE}_2}-\overline{{OE}_1} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
D=2d
\end{gather}
\]
dividindo ambos os lados da igualdade por Δt
\[
\begin{gather}
\frac{D}{\Delta t}=2\frac{d}{\Delta t} \tag{III}
\end{gather}
\]
Sendo a velocidade dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
na equação (III) o lado esquerdo da igualdade representa velocidade da imagem (vI), e
do lado direito da igualdade temos a velocidade do espelho dada no problema
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{I}=2v}
\end{gather}
\]
b) Da equação para movimentos relativos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_{A}=v_{A/B}+v_{B}}
\end{gather}
\]
onde vA é a velocidade em relação ao referencial “absoluto”, no caso o observador,
assim vA = vI; vA/B é a
velocidade relativa a um referencial em movimento, no caso a velocidade da imagem em relação ao espelho
vA/B = vI/E; e vB é a
velocidade do referencial, no caso a velocidade do espelho vB = vE.
Então a equação fica
\[
\begin{gather}
v_{I}=v_{I/E}+v_{E}
\end{gather}
\]
a velocidade da imagem foi encontrada no item (a), vI = 2v, a velocidade do
espelho é o dado do problema, vE = v e a velocidade da imagem em relação ao
espelho, vI/E é o que desejamos encontrar (Figura 3).
\[
\begin{gather}
2v=v_{I/E}+v\\
v_{I/E}=2v-v
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{I/E}=v}
\end{gather}
\]
