Exercício Resolvido de Espelhos Planos
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Um observador situado sobre uma elevação a uma altura h acima da superfície da água de um lago vê um ponto de uma nuvem segundo um ângulo α com o horizonte, e observa a imagem do mesmo ponto, por reflexão na superfície do lago, sob um ângulo β com o horizonte. Determinar a altura a que se encontra o ponto observado, em relação à superfície da água.


Dados do problema:
  • Altura do observador acima do lago:    h;
  • Ângulo entre o horizonte e o ponto da nuvem:    α;
  • Ângulo entre o horizonte e o ponto refletido:    β.
Construção da imagem:

A superfície da água funciona como um espelho plano, desenhamos o observador a uma altura h acima do lago, o ponto P da nuvem está a uma altura x da superfície e a uma distância d do observador (Figura 1).
Figura 1

Abaixo da superfície do lago (espelho) desenhamos o ponto P´ a mesma distância x do espelho (Figura 2).
Figura 2

O ângulo formado entre o horizonte (que está muito distante) e a linha de observação do ponto P é α e o ângulo formado entre o horizonte e a linha de observação do ponto P´ é β; o ponto P está a uma altura x sobre a superfície do lago e o observador a uma altura h, assim o ponto P está a uma altura x−h sobre o observador, o ponto P´ está a uma distância x abaixo da superfície, portanto, o observador está a uma altura x+h do ponto P´ (Figura 3).

Figura 3

Esquema do problema:

O problema pode ser reduzido a dois triângulos retângulos, um de altura d e base x− h com um ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de comprimento d, e outro de altura d e base x+h com um ângulo β entre a hipotenusa e o cateto de comprimento d (Figura 4).
Figura 4

Solução

Escrevendo a tangente dos ângulos α e β
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{x-h}{d}\\ d=\frac{x-h}{\operatorname{tg}\alpha} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\beta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{x+h}{d}\\ d=\frac{x+h}{\operatorname{tg}\beta} \end{gather} \]
igualando as expressões acima
\[ \begin{gather} \frac{x-h}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{x+h}{\operatorname{tg}\beta}\\ \operatorname{tg}\beta (x-h)=\operatorname{tg}\alpha (x+h)\\ x\operatorname{tg}\beta-h\operatorname{tg}\beta =x\operatorname{tg}\alpha +h\operatorname{tg}\alpha \\ x\operatorname{tg}\beta-x\operatorname{tg}\alpha =h\operatorname{tg}\beta +h\operatorname{tg}\alpha \end{gather} \]
colocando em evidência x do lado esquerdo da igualdade e h do lado direito
\[ x(\operatorname{tg}\beta -\operatorname{tg}\alpha)=h(\operatorname{tg}\beta +\operatorname{tg}\alpha) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x=h\frac{(\operatorname{tg}\beta +\operatorname{tg}\alpha)}{(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)}} \]
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