Um observador situado sobre uma elevação a uma altura h acima da superfície da água de um lago vê um
ponto de uma nuvem segundo um ângulo α com o horizonte, e observa a imagem do mesmo ponto, por
reflexão na superfície do lago, sob um ângulo β com o horizonte. Determinar a altura a que se encontra
o ponto observado, em relação à superfície da água.
Dados do problema:
- Altura do observador acima do lago: h;
- Ângulo entre o horizonte e o ponto da nuvem: α;
- Ângulo entre o horizonte e o ponto refletido: β.
Construção da imagem:
A superfície da água funciona como um espelho plano, desenhamos o observador a uma altura h
acima do lago, o ponto P da nuvem está a uma altura x da superfície e a uma distância
d do observador (Figura 1).
Abaixo da superfície do lago (espelho) desenhamos o ponto P´ a mesma distância x do espelho
(Figura 2).
O ângulo formado entre o horizonte (que está muito distante) e a linha de observação do ponto P é
α e o ângulo formado entre o horizonte e a linha de observação do ponto P´ é β; o ponto
P está a uma altura x sobre a superfície do lago e o observador a uma altura h, assim
o ponto P está a uma altura x−h sobre o observador, o ponto P´ está a uma
distância x abaixo da superfície, portanto, o observador está a uma altura x+h do
ponto P´ (Figura 3).
Esquema do problema:
O problema pode ser reduzido a dois triângulos retângulos, um de altura d e base x−
h com um ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de comprimento d, e outro de altura
d e base x+h com um ângulo β entre a hipotenusa e o cateto de comprimento
d (Figura 4).
Solução:
Escrevendo a tangente dos ângulos α e β
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{x-h}{d} \\[5pt]
d=\frac{x-h}{\operatorname{tg}\alpha}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\beta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{x+h}{d} \\[5pt]
d=\frac{x+h}{\operatorname{tg}\beta}
\end{gather}
\]
igualando as equações acima
\[
\begin{gather}
\frac{x-h}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{x+h}{\operatorname{tg}\beta} \\[5pt]
\operatorname{tg}\beta (x-h)=\operatorname{tg}\alpha (x+h) \\[5pt]
x\operatorname{tg}\beta-h\operatorname{tg}\beta=x\operatorname{tg}\alpha+h\operatorname{tg}\alpha \\[5pt]
x\operatorname{tg}\beta-x\operatorname{tg}\alpha=h\operatorname{tg}\beta+h\operatorname{tg}\alpha
\end{gather}
\]
colocando em evidência x do lado esquerdo da igualdade e h do lado direito
\[
\begin{gather}
x(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)=h(\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=h\frac{(\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\alpha)}{(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)}}
\end{gather}
\]
