Exercício Resolvido de Espelhos Planos

Dois espelhos planos são dispostos de maneira a formar entre si um ângulo α. Sobre um deles faz-se incidir um raio de luz. Determinar o ângulo formado por este raio incidente com o raio refletido do segundo espelho.

Construção do caminho do raio de luminoso:

No ponto de incidência do raio de luz sobre o espelho 1 desenhamos a normal ao espelho (N₁), o raio de luz forma com a normal o ângulo de incidência \( {\hat{i}}_{1} \) (Figura 1).

Figura 1

Usando a propriedade dos espelhos planos que diz que o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo que o raio incidente, traçamos o raio refletido formando com a normal o ângulo \( {\hat{r}}_{1} \), sendo \( {\hat{i}}_{1}={\hat{r}}_{1} \). O raio refletido forma com o espelho 1 um ângulo \( \hat{\beta} \) (Figura 2).

Figura 2

\[ \begin{gather} {\hat{r}}_{1}+\hat{\beta }=90°\\ \hat{\beta }=90°-{\hat{r}}_{1} \tag{I} \end{gather} \]

O raio refletido pelo espelho 1 incide sobre o espelho 2, no ponto de incidência do raio de luz desenhamos a normal (N₂), o raio de luz forma com a normal o ângulo de incidência \( {\hat{i}}_{2} \) (Figura 3).

Figura 3

Como o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo que o raio incidente, traçamos o raio refletido formando com a normal o ângulo \( {\hat{r}}_{2} \), sendo \( {\hat{i}}_{2}={\hat{r}}_{2} \). O raio refletido forma com o espelho 2 um ângulo \( \hat{\gamma } \) (Figura 4).

Figura 4

\[ \begin{gather} {\hat{i}}_{2}+\hat{\gamma}=90°\\ \hat{\gamma}=90°-{\hat{i}}_{2} \tag{II} \end{gather} \]

Prolongando-se o raio que incide sobre o espelho 1 e o raio que reflete no espelho 2 para trás dos espelhos encontra-se o ângulo (\( \hat{x} \)) pedido no problema (Figura 5).

Figura 5

Esquema do problema:

Como no espelho 1 o raio incidente forma um ângulo \( {\hat{i}}_{1} \) com a normal N₁, este também é o ângulo entre os prolongamentos do raio de luz incidente e da normal para trás do espelho (Figura 6, em azul à esquerda). Como o raio incidente e o raio refletido formam o mesmo ângulo com a normal (\( {\hat{i}}_{1}={\hat{r}}_{1} \)), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale \( {\hat{r}}_{1} \), e pela expressão (I) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho vale \( \hat{\beta} \). Assim o ângulo entre o raio refletido e o prolongamento do raio incidente vale \( \hat{\beta}+\hat{\beta}=2\hat{\beta} \).

Figura 6

No espelho 2 o raio refletido forma um ângulo \( {\hat{r}}_{2} \) com a normal N₂, este também é o ângulo entre os prolongamentos do raio de luz refletido e da normal para trás do espelho (Figura 6, em azul à direita). Como o raio incidente e o raio refletido formam o mesmo ângulo com a normal (\( {\hat{i}}_{2}={\hat{r}}_{2} \)), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale \( {\hat{i}}_{2} \), e pela expressão (II) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho vale \( \hat{\gamma} \). Assim o ângulo entre o raio incidente e o prolongamento do raio refletido vale \( \hat{\gamma}+\hat{\gamma}=2\hat{\gamma} \).

Solução

Considerando o triângulo formado pelo raio de luz refletido pelo espelho 1 e pelos dois espelhos (Figura 7), temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º

\[ \begin{gather} \hat{\alpha}+\hat{\beta}+\hat{\gamma}=180°\\ \hat{\beta }+\hat{\gamma }=180°-\hat{\alpha} \tag{III} \end{gather} \]

Figura 7

Considerando agora o triângulo formado pelo raio de luz refletido pelo espelho 1 e pelos 2 prolongamentos dos raios de luz (Figura 8), aplicamos novamente a condição da soma dos ângulos internos do triângulo

\[ 2\hat{\beta}+2\hat{\gamma}+\hat{x}=180° \]

Figura 8

colocando o fator 2 em evidência

\[ \begin{gather} 2(\hat{\beta}+\hat{\gamma})+\hat{x}=180° \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a expressão (III) na expressão (IV)

\[ \begin{gather} 2(180°-\hat{\alpha})+\hat{x}=180°\\ 360°-2\hat{\alpha}+\hat{x}=180°\\ \hat{x}=180°-360°+2\hat{\alpha} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\hat{x}=2\hat{\alpha}-180°} \]

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