Dois espelhos planos são dispostos de maneira a formar entre si um ângulo α. Sobre um deles faz-se incidir um raio de luz. Determinar o ângulo formado por este raio incidente com o raio refletido do segundo espelho.

Construção do caminho do raio de luminoso:

No ponto de incidência do raio de luz sobre o espelho 1 desenhamos a normal ao espelho, N₁, o raio de luz forma com a normal o ângulo de incidência \( {\hat i}_1 \) (Figura 1).

Figura 1

Usando a propriedade dos espelhos planos que diz que o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo que o raio incidente, traçamos o raio refletido formando com a normal o ângulo \( {\hat r}_1 \), sendo \( {\hat i}_1={\hat r}_1 \). O raio refletido forma com o espelho 1 um ângulo \( \hat{\beta} \) (Figura 2).

Figura 2

O raio refletido pelo espelho 1 incide sobre o espelho 2, no ponto de incidência do raio de luz desenhamos a normal, N₂, o raio de luz forma com a normal o ângulo de incidência \( {\hat i}_2 \) (Figura 3).

Figura 3

Como o raio refletido forma com a normal o mesmo ângulo que o raio incidente, traçamos o raio refletido formando com a normal o ângulo \( {\hat r}_2 \), sendo \( {\hat i}_2={\hat r}_2 \). O raio refletido forma com o espelho 2 um ângulo \( \hat{\gamma } \) (Figura 4).

Figura 4

Prolongando-se o raio que incide sobre o espelho 1 e o raio que reflete no espelho 2 para trás dos espelhos encontra-se o ângulo (\( \hat{x} \)) pedido no problema (Figura 5).

Figura 5

Esquema do problema:

Como no espelho 1 o raio incidente forma um ângulo \( {\hat i}_1 \) com a normal N₁, este também é o ângulo entre os prolongamentos do raio de luz incidente e da normal para trás do espelho (Figura 6, em azul à esquerda). Como o raio incidente e o raio refletido formam o mesmo ângulo com a normal (\( {\hat i}_1={\hat r}_1 \)), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale \( {\hat r}_1 \), e pela equação (I) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho vale \( \hat{\beta} \). Assim o ângulo entre o raio refletido e o prolongamento do raio incidente vale \( \hat{\beta}+\hat{\beta}=2\hat{\beta} \).

Figura 6

No espelho 2 o raio refletido forma um ângulo \( {\hat r}_2 \) com a normal N₂, este também é o ângulo entre os prolongamentos do raio de luz refletido e da normal para trás do espelho (Figura 6, em azul à direita). Como o raio incidente e o raio refletido formam o mesmo ângulo com a normal (\( {\hat i}_2={\hat r}_2 \)), o ângulo do prolongamento do raio de luz também vale \( {\hat i}_2 \), e pela equação (II) acima, o ângulo entre este prolongamento e a parte de trás do espelho vale \( \hat{\gamma} \). Assim o ângulo entre o raio incidente e o prolongamento do raio refletido vale \( \hat{\gamma}+\hat{\gamma}=2\hat{\gamma} \).

Solução:

Considerando o triângulo formado pelo raio de luz refletido pelo espelho 1 e pelos dois espelhos (Figura 7), temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º

\[ \begin{gather} \hat{\alpha}+\hat{\beta}+\hat{\gamma}=180° \\[5pt] \hat{\beta }+\hat{\gamma }=180°-\hat{\alpha} \tag{III} \end{gather} \]

> Figura 7

Considerando agora o triângulo formado pelo raio de luz refletido pelo espelho 1 e pelos 2 prolongamentos dos raios de luz (Figura 8), aplicamos novamente a condição da soma dos ângulos internos do triângulo

\[ \begin{gather} 2\hat{\beta}+2\hat{\gamma}+\hat{x}=180° \end{gather} \]

Figura 8

colocando o fator 2 em evidência

substituindo a equação (III) na equação (IV)