Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. Calcular esse ângulo, sabendo-se que se reduzindo
esse ângulo de 15° o número de imagens, produzido pelo sistema de um dado objeto, é aumentado de 4.
Dados do problema:
- Ângulo na primeira situação: θ1;
- Ângulo na segunda situação: θ2 = θ1 − 15°;
- Número de imagens na primeira situação: n1;
- Número de imagens na segunda situação: n2 = n1+4.
Solução:
Para dois espelhos formando um certo ângulo o número de imagens é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n=\frac{360°}{\theta}-1}
\end{gather}
\]
Escrevendo a equação acima para as duas situações do problema e utilizando as condições dadas temos o
seguinte conjunto de equações
\[
\begin{gather}
n_1=\frac{360°}{\theta_1}-1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_2=\frac{360°}{\theta_2}-1 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\theta_2=\theta_1-15° \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_2=n_1+4 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
n_1+4=\frac{360°}{\theta _1-15°}-1
\end{gather}
\]
substituindo n1 acima pela equação (I)
\[
\begin{gather}
\frac{360°}{\theta_1}-1+4=\frac{360°}{\theta_1-15°}-1\\[5pt]
\frac{360°}{\theta_1}+4-\frac{360°}{\theta _1-15°}=0
\end{gather}
\]
multiplicando todos os termos pelo produto dos denominadores,
θ1(θ1 − 15°)
\[
\begin{gather}
\frac{360°}{\cancel{\theta_1}}\cancel{\theta_1}(\theta_1-15°)+4\theta_1(\theta_1-15°)-\frac{360°}{\cancel{(\theta_1-15°)}}\theta_1\cancel{(\theta_1-15°)}=0\times\theta_1(\theta_1-15°)\\[5pt]
360°(\theta _1-15°)+4\theta_1(\theta _1-15°)-360°\theta_1=0\\[5pt]
360°\theta _1-5400°+4\theta_1^2-60°\theta _1-360°\theta _1=0\\[5pt]
4\theta_1^2-60°\theta _1-5400°=0
\end{gather}
\]
dividindo toda a equação por 4
\[
\begin{gather}
\theta_1^2-15°\theta_1-1350°=0
\end{gather}
\]
Esta é uma Equação do 2.º Grau em θ1.
Solução da
Equação do 2.º Grau \( \theta_1^2-15°\theta_1-1350°=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\times 1\times(-1350)=225+5400=5625 \\[10pt]
x=\frac{-b\pm\sqrt{\;\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-15)\pm\sqrt{5625\;}}{2\times 1}=\frac{15\pm 75}{2}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
\begin{gather}
\theta_1'=45° \quad \text{e} \quad \theta_1^"=-30°
\end{gather}
\]
Desprezando a solução com ângulo negativo a solução será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta=45°}
\end{gather}
\]
Observação: Usando as equações (I), (II) e (III) para analisar os resultados vemos que para
θ1=
θ'
1 = 45° temos que o número de imagens na primeira situação é
igual a
\[
\begin{gather}
n_1=\frac{360°}{45°}-1=7\;\text{imagens}
\end{gather}
\]
Reduzindo-se o ângulo de 15°, temos na situação 2
\[
\begin{gather}
\theta_2=45°-15°=30°
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_2=\frac{360°}{30°}-1=11\;\text{imagens}
\end{gather}
\]
o número de imagens passou de 7 para 11, aumentando de 4, que é a situação descrita no problema