Exercício Resolvido de Espelhos Planos
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Um ponto luminoso é colocado simetricamente em relação a dois espelhos planos que formam entre si um ângulo de 120°, a \( 20\sqrt{3\;} \) cm da aresta. Determine a distância entre as duas imagens.

Dados do problema:

  • Ângulo entre os espelhos: θ = 120°;
  • Distância do ponto luminoso ao vértice: \( d=20\sqrt{3\;} \).

Construção da imagem:

Desenhamos o ponto luminoso P em uma posição simétrica em relação aos espelhos E1 e E2.
Figura 1
A partir do ponto P traçamos uma reta perpendicular ao espelho E1, e marcamos atrás do espelho, a mesma distância de P, a imagem I1, analogamente para o espelho E2 teremos a imagem I2, sendo x a distância do ponto luminoso até as imagens.
Figura 2

Esquema do problema:

Figura 3

Solução:

Como o ponto P está colocado simetricamente em relação aos espelhos E1 e E2, o segmento de reta \( \overline{PV} \) é bissetriz do ângulo θ = 120°, assim ângulo α = 60° (Figura 3). O segmento de reta que liga o ponto P a imagem I2 (ou a I1) é perpendicular ao espelho E2 (ou ao espelho E1), assim o triângulo ΔPE2V é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede \( \frac{x}{2} \) é um dos catetos e o segmento \( \overline{PV}=d=20\sqrt{3\;} \) é a hipotenusa do triângulo, calculando o sen α

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\dfrac{x}{2}}{d}\\[5pt] \operatorname{sen}60°=\frac{\dfrac{x}{2}}{20\sqrt{3}} \\[5pt] \frac{x}{2}=20\sqrt{3\;}\operatorname{sen}60° \end{gather} \]

sendo \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} \frac{x}{\cancel 2}=20\sqrt{3\;}\times\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2} \\[5pt] x=20\times(\sqrt{3\;})^2 \\[5pt] x=20\times 3 \end{gather} \]

assim a distância x entre o ponto P e a imagem I2 (ou I1) mede

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x=60\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

O segmento de reta \( \overline{PE_2} \) é perpendicular ao espelho E2 (forma um ângulo de 90° com ele), o ângulo α é igual a 60°, como vimos, e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que o ângulo β deve ser

\[ \begin{gather} \alpha +\beta +90°=180° \\[5pt] \beta=180°-90°-\alpha \\[5pt] \beta=180°-90°-60° \\[5pt] \beta=60° \end{gather} \]

O triângulo ΔPBI2 é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede \( \frac{D}{2} \) é um dos catetos e a hipotenusa do triângulo é x = 60 cm, calculando o cosseno de β

\[ \begin{gather} \cos \beta =\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\dfrac{D}{2}}{x} \\[5pt] \cos 60°=\frac{\dfrac{D}{2}}{60} \\[5pt] \frac{D}{2}=60\cos 60° \end{gather} \]

sendo \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)

\[ \begin{gather} \frac{D}{\cancel 2}=60\times \frac{1}{\cancel 2} \end{gather} \]

e finalmente a distância D entre as imagens será

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {D=60\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
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