Exercício Resolvido de Espelhos Planos

Um ponto luminoso é colocado simetricamente em relação a dois espelhos planos que formam entre si um ângulo de 120°, a \( 20\sqrt{3\;} \) cm da aresta. Determine a distância entre as duas imagens.

Dados do problema:

Ângulo entre os espelhos: θ = 120°;
Distância do ponto luminoso ao vértice: \( d=20\sqrt{3\;} \).

Construção da imagem:

Desenhamos o ponto luminoso P em uma posição simétrica em relação aos espelhos E₁ e E₂.

Figura 1

A partir do ponto P traçamos uma reta perpendicular ao espelho E₁, e marcamos atrás do espelho, a mesma distância de P, a imagem I₁, analogamente para o espelho E₂ teremos a imagem I₂, sendo x a distância do ponto luminoso até as imagens.

Figura 2

Esquema do problema:

Figura 3

Solução

Como o ponto P está colocado simetricamente em relação aos espelhos E₁ e E₂, o segmento de reta \( \overline{PV} \) é bissetriz do ângulo θ = 120°, assim ângulo α = 60° (Figura 3). O segmento de reta que liga o ponto P a imagem I₂ (ou a I₁) é perpendicular ao espelho E₂ (ou ao espelho E₁), assim o triângulo ΔPE₂V é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede \( \frac{x}{2} \) é um dos catetos e o segmento \( \overline{PV}=d=20\sqrt{3\;} \) é a hipotenusa do triângulo, calculando o sen α

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\dfrac{x}{2}}{d}\\ \operatorname{sen}60°=\frac{\dfrac{x}{2}}{20\sqrt{3}}\\ \frac{x}{2}=20\sqrt{3\;}\operatorname{sen}60° \end{gather} \]

sendo \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} \frac{x}{\cancel{2}}=20\sqrt{3\;}.\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel{2}}\\ x=20(\sqrt{3\;})^{2}\\ x=20.3 \end{gather} \]

assim a distância x entre o ponto P e a imagem I₂ (ou I₁) mede

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x=60\;\text{cm}} \]

O segmento de reta \( \overline{PE_{2}} \) é perpendicular ao espelho E₂ (forma um ângulo de 90° com ele), o ângulo α é igual a 60°, como vimos, e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que o ângulo β deve ser

\[ \begin{gather} \alpha +\beta +90°=180°\\ \beta=180°-90°-\alpha \\ \beta=180°-90°-60°\\ \beta=60° \end{gather} \]

O triângulo ΔPBI₂ é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede \( \frac{D}{2} \) é um dos catetos e a hipotenusa do triângulo é x = 60 cm, calculando o cosseno de β

\[ \begin{gather} \cos \beta =\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\dfrac{D}{2}}{x}\\ \cos 60°=\frac{\dfrac{D}{2}}{60}\\ \frac{D}{2}=60\cos 60° \end{gather} \]

sendo \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)

\[ \frac{D}{\cancel{2}}=60.\frac{1}{\cancel{2}} \]

e finalmente a distância D entre as imagens será

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {D=60\;\text{cm}} \]

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