Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Dois espelhos esféricos côncavos de raios de curvatura 1 m e 1,5 m são dispostos de maneira que seus eixos principais coincidam e as suas superfícies refletoras, distantes 3 m uma da outra, se defrontem. Calcular a que distância do primeiro espelho, entre ambos, deve ser colocado um objeto luminoso, normalmente ao eixo comum, para que as duas imagens deste objeto tenham a mesma altura.
Dados do problema:
- Raio de curvatura do espelho 1: R1 = 1 m;
- Raio de curvatura do espelho 2: R2 = 1,5 m;
- Distância entre os espelhos: d = 3 m.
Queremos encontrar a distância p1 do objeto ao espelho 1 de tal modo que as imagens formadas por reflexão em cada um dos espelhos tenham a mesma altura (Figura 1).
O objeto colocado entre os espelhos produz duas imagens, como estes espelhos têm raios de curvatura diferentes as suas imagens podem se formar com a mesma altura, mas não necessariamente, na mesma posição.
Solução
A distância entre os espelhos é igual à soma das distâncias do objeto a cada espelho
\[
\begin{gather}
d=p_{1}+p_{2}\\
p_{1}+p_{2}=3 \tag{I}
\end{gather}
\]
A distância focal dos espelhos é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f=\frac{R}{2}}
\]
para os espelhos 1 e 2
\[
\begin{gather}
f_{1}=\frac{R_{1}}{2}\\
f_{1}=\frac{1}{2}\\
f_{1}=0,5\;\text{m} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f_{2}=\frac{R_{2}}{2}\\
f_{2}=\frac{1,5}{2}\\
f_{2}=0,75\;\text{m} \tag{III}
\end{gather}
\]
A Equação dos Pontos Conjugados é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\]
para os espelhos 1 e 2
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p'_{1}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p'_{2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
A Equação do Aumento Linear é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}}
\]
para os espelhos 1 e 2, sendo que o objeto é o mesmo para os dois espelhos e tem altura o e o problema quer
que a altura das imagens seja a mesma i1 = i2 = i
\[
\begin{gather}
\frac{i}{o}=-{\frac{p'_{1}}{p_{1}}}\\
\frac{1}{p'_{1}}=-{\frac{i}{o}}\frac{1}{p_{1}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{i}{o}=-{\frac{p'_{2}}{p_{2}}}\\
\frac{1}{p'_{2}}=-{\frac{i}{o}}\frac{1}{p_{2}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}-\frac{i}{o}\frac{1}{p_{1}}
\]
colocando
\( \dfrac{1}{p_{1}} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}\left(1-\frac{i}{o}\right)\\
\frac{p_{1}}{f_{1}}=1-\frac{i}{o} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (VII) na expressão (V)
\[
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}-\frac{i}{o}\frac{1}{p_{2}}
\]
colocando
\( \dfrac{1}{p_{2}} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}\left(1-\frac{i}{o}\right)\\
\frac{p_{2}}{f_{2}}=1-\frac{i}{o} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Igualando as expressões (VIII) e (IX)
\[
\begin{gather}
\frac{p_{1}}{f_{1}}=\frac{p_{2}}{f_{2}} \tag{X}
\end{gather}
\]
queremos a distância do objeto ao espelho 1 dada por p1, isolando o valor de
p2 na expressão (I)
\[
\begin{gather}
p_{2}=3-p_{1} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XI) e os valores dos focos de (II) e (III) na expressão (X)
\[
\frac{p_{1}}{0,5}=\frac{3-p_{1}}{0,75}
\]
multiplicando em “cruz”
\[
\begin{gather}
0,75p_{1}=0,5(3-p_{1})\\
0,75p_{1}=1,5-0,5p_{1}\\
0,75p_{1}+0,5p_{1}=1,5\\
1,25p_{1}=1,5\\
p_{1}=\frac{1,5}{1,25}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p_{1}=1,2\;\text{m}}
\]
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