Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Tem-se um espelho esférico côncavo de distância focal 12 cm. Calcular a que distância desse espelho deverá colocar-se um observador cuja distância mínima de visão distinta vale 32 cm, para ver nitidamente uma imagem direita do seu olho.


Dados do problema:
  • Distância focal do espelho:    f = 12 cm;
  • Distância do olho à imagem:    d = 32 cm.
Esquema do problema:

Usando as propriedades dos espelhos esféricos que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (raio 1 nas Figuras 1-A e 1-B) e que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (raio 2), temos duas possibilidades:
  • Se o objeto (olho do observador) estiver antes do foco do espelho a imagem formada será invertida (Figura 1-A);
Figura 1
  • Se o objeto estiver entre o vértice do espelho e o foco a imagem formada será direita (Figura 1-B), como pede o problema.
Figura 2

A distância de visão distinta do observador é dada como 32 cm, que é a soma da distância do objeto ao espelho (p) e da distância da imagem ao espelho (p')
\[ \begin{gather} d=p+p'\\ p+p'=32 \tag{I} \end{gather} \]
Solução

Utilizando a Equação dos Pontos Conjugados
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II} \end{gather} \]
Usando a expressão (I)
\[ p'=32-p \]
como a imagem se forma atrás do espelho este valor será negativo (p' < 0)
\[ \begin{gather} p'=-(32-p)\\ p'=p-32 \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II) e o valor do foco dado
\[ \frac{1}{12}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p-32} \]
o fator comum entre p e p − 32 é p(p − 32)
\[ \begin{gather} \frac{1}{12}=\frac{p-32+p}{p(p-32)}\\ \frac{1}{12}=\frac{2p-32}{p(p-32)} \end{gather} \]
multiplicando em “cruz”
\[ \begin{gather} p(p-32)=12.(2p-32)\\ p^{2}-32p=12.2p-12.32\\ p^{2}-32p=24p-384\\ p^{2}-32p-24p+384=0\\ p^{2}-56p+384=0 \end{gather} \]
Esta é uma Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado p

Solução da Equação do 2.º Grau   \( p^{2}-56p+384=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^{2}-4ac=\left(-56\right)^{2}-4.1.384=3136-1536=1600\\[10pt] p=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-56)\pm \sqrt{1600}}{2.1}=\frac{56\pm40}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação serão
\[ p_{1}=48 \quad\text{ou}\quad p_{2}=8 \]

Desprezando a raiz igual a 48, onde o objeto está antes do foco e produz uma imagem invertida, o valor para que a imagem seja direita deve estar entre o foco e o vértice do espelho, assim a solução será p = 8 cm.
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