Tem-se um espelho esférico côncavo de distância focal 12 cm. Calcular a que distância desse espelho deverá
colocar-se um observador cuja distância mínima de visão distinta vale 32 cm, para ver nitidamente uma imagem
direita do seu olho.
Dados do problema:
- Distância focal do espelho: f = 12 cm;
- Distância do olho à imagem: d = 32 cm.
Esquema do problema:
Usando as propriedades dos espelhos esféricos que
todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo
principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (raio 1 nas Figuras 1-A e 1-B) e que
todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal
(raio 2), temos duas possibilidades:
- Se o objeto (olho do observador) estiver antes do foco do espelho a imagem formada será invertida (Figura 1-A);
- Se o objeto estiver entre o vértice do espelho e o foco a imagem formada será direita (Figura 1-B), como pede o problema.
A distância de visão distinta do observador é dada como 32 cm, que é a soma da distância do objeto ao espelho
(
p) e da distância da imagem ao espelho (
p')
\[
\begin{gather}
d=p+p'\\
p+p'=32 \tag{I}
\end{gather}
\]
Solução
Utilizando a
Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Usando a expressão (I)
\[
p'=32-p
\]
como a imagem se forma atrás do espelho este valor será negativo (p' < 0)
\[
\begin{gather}
p'=-(32-p)\\
p'=p-32 \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II) e o valor do foco dado
\[
\frac{1}{12}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p-32}
\]
o fator comum entre
p e
p − 32 é
p(
p − 32)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{12}=\frac{p-32+p}{p(p-32)}\\
\frac{1}{12}=\frac{2p-32}{p(p-32)}
\end{gather}
\]
multiplicando em “cruz”
\[
\begin{gather}
p(p-32)=12.(2p-32)\\
p^{2}-32p=12.2p-12.32\\
p^{2}-32p=24p-384\\
p^{2}-32p-24p+384=0\\
p^{2}-56p+384=0
\end{gather}
\]
Esta é uma
Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado
p
Solução da
Equação do 2.º Grau \( p^{2}-56p+384=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^{2}-4ac=\left(-56\right)^{2}-4.1.384=3136-1536=1600\\[10pt]
p=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-56)\pm \sqrt{1600}}{2.1}=\frac{56\pm40}{2}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
p_{1}=48 \quad\text{ou}\quad p_{2}=8
\]
Desprezando a raiz igual a 48, onde o objeto está antes do foco e produz uma imagem invertida, o valor para
que a imagem seja direita deve estar entre o foco e o vértice do espelho, assim a solução será
p = 8 cm.