Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Um espelho esférico associa uma imagem virtual e direita a um objeto real. A dimensão transversal da imagem é metade da do objeto e a distância que os separa é d. Determinar o tipo de espelho, sua distância focal e qual, em módulo, a distância x do seu vértice ao objeto?


Dados do problema:
  • Dimensão da imagem:    \( i=\dfrac{o}{2} \);
  • Distância do objeto à imagem:    p − p' = d;
  • Distância do objeto ao vértice do espelho:    p = x.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

O problema nos diz que a imagem é virtual, portanto, p' < 0 e direita, i.o > 0.
\[ \begin{gather} x-p'=d\\ p'=x-d \tag{I} \end{gather} \]
Usando a Equação do Aumento Linear Transversal, temos o valor de x
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \]
\[ \begin{gather} \frac{\dfrac{o}{2}}{o}=-{\frac{(x-d)}{x}}\\ \frac{\cancel{o}}{2}.\frac{1}{\cancel{o}}=-{\frac{(x-d)}{x}}\\ x=-2(x-d)\\ x=-2x+2d\\x+2x=2d\\ 3x=2d \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x=|x|=\frac{2}{3}d} \]
Dos dados temos que p = x
\[ \begin{gather} p=x=\frac{2}{3}d \tag{II} \end{gather} \]
Usando a expressão (I)
\[ \begin{gather} p'=\frac{2}{3}d-d\\ p'=\frac{2d-3d}{3}\\ p'=-{\frac{1}{3}}d \tag{III} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (II) e (III) na Equação dos Pontos Conjugados, obtemos a distância focal
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \]
\[ \begin{gather} \frac{1}{f}=\frac{1}{\dfrac{2}{3}d}+\frac{1}{\left(-{\dfrac{1}{3}}d\right)}\\ \frac{1}{f}=\frac{3}{2d}-\frac{3}{d}\\\ \frac{1}{f}=\frac{3-6}{2d}\\ \frac{1}{f}=-{\frac{3}{2d}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=-{\frac{2}{3}}d} \]
Como f < 0 o espelho é convexo.
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