Um reservatório cilíndrico tem por base um espelho esférico côncavo E, cuja face refletora é
voltada para o interior do cilindro. O vértice do espelho é o ponto V e seu raio de curvatura vale
16 cm, o eixo principal do espelho é vertical e coincidente com o eixo do cilindro. O interior desse
cilindro está cheio de água até uma altura VA = 8 cm. Sobre o eixo do cilindro e acima da água
encontra-se um objeto a 20 cm de V. Sendo o índice de refração da água 4/3, determinar a posição
da imagem final produzida por refração na água e reflexão no espelho.
Dados do problema:
- Distância do objeto ao espelho: p = 20 cm;
- Raio de curvatura do espelho: R = 16 cm;
-
Índice de refração da água:
\( n_2=\dfrac{4}{3} \);
- Adotando-se o meio externo como sendo o ar, índice de refração do ar: n1 = 1.
Esquema do problema:
Solução:
A distância focal do espelho é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f=\frac{R}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f=\frac{16}{2} \\[5pt]
f=8\;\mathrm{cm}
\end{gather}
\]
O foco do espelho está situado no ponto A na superfície de separação entre o ar e a água.
Usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao
eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho, obtemos a situação mostrada na
Figura 2.
O raio de luz vindo do objeto incide perpendicularmente na superfície de separação ar/água e passa sem
sofrer desvio, o raio reflete no espelho em direção ao foco e neste ponto é refratado. O raio refletido
incide na superfície de separação formando um ângulo
\( {\hat i}_1 \)
e é refratado para o meio externo formando um ângulo
\( {\hat r}_1 \)
com a normal.
Tomando-se um segundo, este incidi na superfície de separação ar/água onde está o foco do espelho e é
refratado em direção ao vértice do espelho, usando a propriedade de que todo raio de luz que incide
no foco do espelho reflete-se paralelamente ao eixo principal, temos a situação mostrada na
Figura 3.
O raio de luz incide na água formando um ângulo
\( {\hat i}_2 \)
com a normal e é refratado para dentro da água formando um ângulo
\( {\hat r}_2 \),
o raio de luz incide, então, no vértice do espelho e é refletido paralelamente ao eixo principal.
Do cruzamento entre os dois raios temos o ponto onde se forma a imagem i. A distância p'
é o valor a ser calculado.
Consideremos o primeiro raio refletido no espelho e refratado para o meio (mostrado em destaque na
Figura 5), aplicando a Lei de Snell-Descartes
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2}
\end{gather}
\]
Fazendo a aproximação
\( \operatorname{sen}\theta\approx\operatorname{tg}\theta \)
para
\( {\hat i}_1 \)
e
\( {\hat r}_1 \)
pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma
\[
\begin{gather}
n_2\operatorname{tg}\hat i_1=n_1\operatorname{tg}\hat r_1 \tag{I}
\end{gather}
\]
Observação: Considerando o círculo trigonométrico, para pequenos ângulos o valor do seno
medido ao longo do eixo-y é aproximadamente igual ao valor da tangente medida sobre a reta
tangente ao círculo trigonométrico, e o valor do cosseno medido ao longo do eixo-x é
aproximadamente igual a 1 (Figura 6).
Se tiver dificuldade em entender essa aproximação pense com valores numéricos, por exemplo:
para θ = 1° = 0,017453 radianos
sen 1° = 0,017452
tg 1° = 0,017455
cos 1° = 0,999847
para θ = 5° = 0,087266 radianos
sen 5° = 0,087156
tg 5° = 0,087489
cos 5° = 0,996195
Da "Trigonometria"
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}{\hat i}_1=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{o}{f}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}{\hat r}_1=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{i}{p'-f}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação (I)
\[
\begin{gather}
n_2\frac{o}{f}=n_1\frac{i}{p'-f} \\[5pt]
\frac{i}{o}=\frac{n_2}{n_1}\frac{p'-f}{f} \tag{II}
\end{gather}
\]
Consideremos o segundo raio incidente na superfície da água no ponto onde está o foco, e refratado para a
água (Figura 7), aplicando, novamente, a Lei de Snell-Descartes
\[
\begin{gather}
n_1\operatorname{sen}{\hat i}_2=n_{2}\operatorname{sen}{\hat r}_2
\end{gather}
\]
Usando novamente a aproximação
\( \operatorname{sen}\theta \approx \operatorname{tg}\theta \)
para
\( {\hat i}_2 \)
e
\( {\hat r}_2 \)
pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma
\[
\begin{gather}
n_1\operatorname{tg}{\hat i}_2=n_{2}\operatorname{tg}{\hat r}_2 \tag{III}
\end{gather}
\]
As tangentes serão dadas por
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}{\hat i}_2=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{o}{p-f}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}{\hat r}_2=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{i}{f}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação (III)
\[
\begin{gather}
n_1\frac{o}{p-f}=n_2\frac{i}{f} \\[5pt]
\frac{i}{o}=\frac{n_1}{n_2}\frac{f}{p-f} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Igualando as equações (II) e (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{n_2}{n_1}\frac{p'-f}{f}=\frac{n_1}{n_2}\frac{f}{p-f} \\[5pt]
p'-f=\frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{f^2}{p-f} \\[5pt]
p'=\frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{f^2}{p-f}+f
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema e o valor do foco calculado
\[
\begin{gather}
p'=\frac{1^2\times 8^2}{\left(\frac{4}{3}\right)^2\times (20-8)}+8 \\[5pt]
p'=\frac{1\times 64}{\frac{16}{9}\times 12}+8 \\[5pt]
p'=\frac{9}{16}\times \frac{64}{12}+8\\p'=3+8 \\[5pt]
p'=11
\end{gather}
\]
A imagem se formará a
11 cm
do vértice do espelho ou a p'−f = 11−8 =
3 cm
acima da água.
