Um raio de luz incide sobre uma lâmina de faces paralelas sob um ângulo i, o índice de refração da
lâmina em relação ao meio envolvente é n e sua espessura e. Determinar o deslocamento lateral
do raio luminoso.
Dados do problema:
- Ângulo de incidência do raio de luz: i;
- índice de refração da lâmina em relação ao meio envolvente: \( n=\dfrac{n_2}{n_1} \);
- espessura da lâmina: e.
Construção do caminho do raio de luz:
Traçamos a normal à primeira face da lâmina e o raio incidente formando o ângulo
\( i={\hat i}_1 \)
com a normal (Figura 1).
Sendo o meio interno da lâmina mais refringente que o meio externo onde ela está
(n2 > n1) então quando o raio de luz passa do meio externo para o
meio interno ele se aproxima da normal e o ângulo
\( {\hat i}_2 \)
do raio refratado será menor que
\( {\hat i}_1 \)
(Figura 2).
O raio de luz refratado dentro da lâmina vai incidir na segunda face sob um certo ângulo i’,
traçando-se a normal à face no ponto de incidência do raio de luz os ângulo i’ e
\( {\hat i}_2 \)
são alternos internos, então
\( i'={\hat i}_2 \),
o raio sai para o meio externo, passando de um meio mais refringente para um meio menos refringente e ele
se afasta da normal, a direção final será a mesma do raio incidente inicialmente e
\( {\hat i}_3={\hat i}_1 \)
(Figura 3).
Esquema do problema:
O desvio d será a distância entre os pontos A e C, a distância entre a direção que o
raio de luz seguiria se passasse direto, sem desvio, e a direção real que o raio de luz segue após sair da
lâmina.
Solução:
O desvio d é um dos catetos do triângulo ΔCAB, reto em A, o ângulo
(segmento \( \hat i_1-\hat i_2 \))
é o ângulo entre o caminho que o raio de luz seguiria se não sofresse desvio
(segmento (\( \overline{BA} \)))
e o raio de luz que atravessa a lâmina
(segmento (\( \overline{BC} \))),
podemos obter d através do seno do ângulo
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\left({\hat i}_1-{\hat i}_2\right)=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{d}{\overline{BC}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O triângulo ΔBDC é reto em D, então o cosseno do ângulo
\( {\hat i}_2 \)
será
\[
\begin{gather}
\cos{\hat i}_2=\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\frac{e}{\overline{BC}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde o cateto
\( \overline{BD} \)
do triângulo é igual a espessura e da lâmina.
Das equações (I) e (II) podemos isolar o lado
\( \overline{BC} \)
comum aos dois triângulos
>
\[
\begin{gather}
\overline{BC}=\frac{d}{\operatorname{sen}\left({\hat i}_1-{\hat i}_2\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\overline{BC}=\frac{e}{\cos {\hat i}_2}
\end{gather}
\]
igualando as duas equações acima
\[
\begin{gather}
\frac{d}{\operatorname{sen}\left({\hat i}_1-{\hat i}_2\right)}=\frac{e}{\cos{\hat i}_2} \\[5pt]
d=e\frac{\operatorname{sen}\left({\hat i}_1-{\hat i}_2\right)}{\cos{\hat i}_2}
\end{gather}
\]
A espessura (e) e o ângulo de incidência
\( {\hat i}_1 \)
são conhecidos o único dado desconhecido nesta equação é o ângulo do raio refratado
\( {\hat i}_2 \),
desenvolvendo o termo do seno da diferença que é do tipo
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\cos b-\operatorname{sen}b\cos a
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d=e\frac{\operatorname{sen}{\hat i}_1\cos{\hat i}_2-\operatorname{sen}{\hat i}_2\cos {\hat i}_1}{\cos{\hat i}_2} \\[5pt][5pt]
d=e\left[\frac{\operatorname{sen}{\hat i}_1\cos{\hat i}_2}{\cos {\hat i}_2}-\frac{\operatorname{sen}{\hat i}_2\cos{\hat i}_1}{\cos{\hat i}_2}\right] \\[5pt]
d=e\left[\operatorname{sen}{\hat i}_1-\frac{\operatorname{sen}{\hat i}_2\cos{\hat i}_1}{\cos {\hat i}_2}\right] \tag{III}
\end{gather}
\]
Pela Lei de Snell-Descartes
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta _2}
\end{gather}
\]
então podemos correlacionar os ângulos de incidência
\( {\hat i}_1 \)
e refração
\( {\hat i}_2 \)
e isolar o
\( \operatorname{sen}{\hat i}_2 \)
\[
\begin{gather}
n_1\operatorname{sen}{\hat i}_1=n_2\operatorname{sen}{\hat i}_2 \\[5pt]
\operatorname{sen}{\hat i}_2=\frac{n_1}{n_2}\operatorname{sen}{\hat i}_1
\end{gather}
\]
o termo
\( \frac{n_1}{n_2} \)
é o inverso do índice de refração relativa dado no problema
\( \frac{1}{n}=\frac{n_1}{n_2} \)
e podemos escrever
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}{\hat i}_2=\frac{1}{n}\operatorname{sen}{\hat i}_1 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos
\( \cos {\hat i}_2 \)
lembremos da relação trigonométrica
\[
\begin{gather}
\cos^2{\hat i}_2+\operatorname{sen}^2{\hat i}_2=1 \\[5pt]
\cos{\hat i}_2=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2{\hat i}_2}
\end{gather}
\]
substituindo
\( \operatorname{sen}{\hat i}_2 \)
pelo valor encontrado em (IV)
\[
\begin{gather}
\cos{\hat i}_2=\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}\operatorname{sen}{\hat i}_1\right)^2} \\[5pt]
\cos{\hat i}_2=\sqrt{1-\frac{1}{n^2}\operatorname{sen}^2{\hat i}_1}
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \frac{1}{n^2} \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\cos{\hat i}_2=\sqrt{\frac{1}{n^2}\left(n^2-\operatorname{sen}^2{\hat i}_1\right)} \\[5pt]\cos
{\hat i}_2=\frac{1}{n}\sqrt{n^2-\operatorname{sen}^2{\hat i}_1} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) e (V) na equação (III)
\[
\begin{gather}
d=e\left[\operatorname{sen}{\hat i}_1-\frac{\cancel{\frac{1}{n}}\operatorname{sen}{\hat i}_1\cos{\hat i}_1}{\cancel{\frac{1}{n}}\sqrt{n^2-\operatorname{sen}^2{\hat i}_1}}\right]
\end{gather}
\]
colocando
\( \operatorname{sen}{\hat i}_1 \)
em evidência
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=e\operatorname{sen}{\hat i}_1\left[1-\frac{\cos{\hat i}_1}{\sqrt{n^2-\operatorname{sen}^2{\hat i}_1}}\right]}
\end{gather}
\]
