A equação que descreve o movimento de um fluido viscoso em uma dimensão é dada por
\[
\begin{gather}
\rho \frac{dv}{dt}=-{\frac{dp}{dx}}+\eta \frac{d^{2}v}{cx^{2}}
\end{gather}
\]
onde
ρ é a densidade,
v é a velocidade,
t é o tempo,
p é a pressão e
η é a viscosidade. Determine a dimensão da viscosidade
η.
Solução
Do lado esquerdo da igualdade a densidade
ρ é dada pela massa
m dividida pelo volume
V
\[
\begin{gather}
[\rho ]=\frac{[m]}{[V]}=\frac{M}{L^{3}}=ML^{-3}
\end{gather}
\]
o termo
\( \frac{dv}{dt} \)
tem dimensão de velocidade
v dividida pelo tempo
t (a operação de derivada d não tem
dimensão), a velocidade
v tem dimensão de comprimento
x dividida pelo tempo
t
\[
\begin{gather}
\left[\frac{dv}{dt}\right]=\frac{[v]}{[t]}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{[t]}=\frac{\frac{L}{T}}{T}=\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-1}T^{-1}=LT^{-2}
\end{gather}
\]
o lado esquerdo da equação tem a dimensão
\[
\begin{gather}
\left[\rho\frac{dv}{dt}\right]=\left(ML^{-3}\right)\left(LT^{-2}\right)=ML^{-2}T^{-2}
\end{gather}
\]
Pelo
Princípio da Homogeneidade Dimensional os dois lados da equação devem ter a mesma dimensão
\[
\begin{gather}
\underbrace{\left[\rho\frac{dv}{dt}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}=-{\underbrace{\left[\frac{dp}{dx}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}}+\underbrace{\left[\eta\frac{d^{2}v}{cx^{2}}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}
\end{gather}
\]
no segundo termo do lado direito
\( \frac{d^{2}v}{cx^{2}} \)
tem dimensão de velocidade
v divida pelo comprimento ao quadrado
x2
(a operação de derivada segunda
d2 não tem dimensão), a velocidade
v tem dimensão
de comprimento
x dividida pelo tempo
t
\[
\begin{gather}
\left[\frac{dv}{dx}\right]=\frac{[v]}{\left([x]\right)^{2}}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{\left([x]\right)^{2}}=\frac{\frac{L}{T}}{L^{2}}=\frac{LT^{-1}}{L^{2}}=LT^{-1}L^{-2}=L^{-1}T^{-1}
\end{gather}
\]
o segundo termo do direito da equação tem a dimensão
\[
\begin{gather}
\left[\eta \frac{dv}{dx}\right]=[\eta]\left[\frac{dv}{dx}\right]=ML^{-2}T^{-2}\\[5pt]
[\eta]L^{-1}T^{-1}=ML^{-2}T^{-2}\\[5pt]
[\eta]=\frac{ML^{-2}T^{-2}}{L^{-1}T^{-1}}\\[5pt]
[\eta]=ML^{-2}T^{-2}LT
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{[\eta ]=ML^{-1}T^{-1}}
\end{gather}
\]