A equação que descreve o movimento de um fluido viscoso em uma dimensão é dada por
\[
\begin{gather}
\rho\frac{dv}{dt}=-{\frac{dp}{dx}}+\eta \frac{d^2v}{dx^2}
\end{gather}
\]
onde ρ é a densidade, v é a velocidade, t é o tempo, p é a pressão e
η é a viscosidade. Determine a dimensão da viscosidade η.
Solução:
Do lado esquerdo da igualdade a densidade ρ é dada pela massa m dividida pelo volume
V
\[
\begin{gather}
[\rho]=\frac{[m]}{[V]}=\frac{M}{L^3}=ML^{-3}
\end{gather}
\]
o termo
\( \frac{dv}{dt} \)
tem dimensão de velocidade v dividida pelo tempo t, a velocidade v tem dimensão
de comprimento x dividida pelo tempo t
\[
\begin{gather}
\left[\frac{dv}{dt}\right]=\frac{[v]}{[t]}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{[t]}=\frac{\frac{L}{T}}{T}=\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-1}T^{-1}=LT^{-2}
\end{gather}
\]
o lado esquerdo da equação tem a dimensão
\[
\begin{gather}
\left[\rho\frac{dv}{dt}\right]=\left(ML^{-3}\right)\left(LT^{-2}\right)=ML^{-2}T^{-2}
\end{gather}
\]
Pelo Princípio da Homogeneidade Dimensional os dois lados da equação devem ter a mesma dimensão
\[
\begin{gather}
\underbrace{\left[\rho\frac{dv}{dt}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}=-{\underbrace{\left[\frac{dp}{dx}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}}+\underbrace{\left[\eta\frac{d^2v}{dx^2}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}
\end{gather}
\]
no segundo termo do lado direito
\( \frac{d^2v}{dx^2} \)
tem dimensão de velocidade v divida pelo comprimento ao quadrado x2, a
velocidade v tem dimensão de comprimento x dividida pelo tempo t
\[
\begin{gather}
\left[\frac{d^2v}{dx^2}\right]=\frac{[v]}{[x]^2}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{[x]^2}=\frac{\frac{L}{T}}{L^2}=\frac{LT^{-1}}{L^2}=LT^{-1}L^{-2}=L^{-1}T^{-1}
\end{gather}
\]
o segundo termo do direito da equação tem a dimensão
\[
\begin{gather}
\left[\eta\frac{d^2v}{dx^2}\right]=[\eta]\left[\frac{d^2v}{dx^2}\right]=ML^{-2}T^{-2} \\[5pt]
[\eta]L^{-1}T^{-1}=ML^{-2}T^{-2} \\[5pt]
[\eta]=\frac{ML^{-2}T^{-2}}{L^{-1}T^{-1}} \\[5pt]
[\eta]=ML^{-2}T^{-2}LT
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{[\eta]=ML^{-1}T^{-1}}
\end{gather}
\]
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