Exercício Resolvido de Análise Dimensional
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A equação que descreve o movimento de um fluido viscoso em uma dimensão é dada por
\[ \begin{gather} \rho \frac{dv}{dt}=-{\frac{dp}{dx}}+\eta \frac{d^{2}v}{cx^{2}} \end{gather} \]
onde ρ é a densidade, v é a velocidade, t é o tempo, p é a pressão e η é a viscosidade. Determine a dimensão da viscosidade η.


Solução

Do lado esquerdo da igualdade a densidade ρ é dada pela massa m dividida pelo volume V
\[ \begin{gather} [\rho ]=\frac{[m]}{[V]}=\frac{M}{L^{3}}=ML^{-3} \end{gather} \]
o termo   \( \frac{dv}{dt} \)   tem dimensão de velocidade v dividida pelo tempo t (a operação de derivada d não tem dimensão), a velocidade v tem dimensão de comprimento x dividida pelo tempo t
\[ \begin{gather} \left[\frac{dv}{dt}\right]=\frac{[v]}{[t]}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{[t]}=\frac{\frac{L}{T}}{T}=\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-1}T^{-1}=LT^{-2} \end{gather} \]
o lado esquerdo da equação tem a dimensão
\[ \begin{gather} \left[\rho\frac{dv}{dt}\right]=\left(ML^{-3}\right)\left(LT^{-2}\right)=ML^{-2}T^{-2} \end{gather} \]
Pelo Princípio da Homogeneidade Dimensional os dois lados da equação devem ter a mesma dimensão
\[ \begin{gather} \underbrace{\left[\rho\frac{dv}{dt}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}=-{\underbrace{\left[\frac{dp}{dx}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}}}+\underbrace{\left[\eta\frac{d^{2}v}{cx^{2}}\right]}_{ML^{-2}T^{-2}} \end{gather} \]
no segundo termo do lado direito   \( \frac{d^{2}v}{cx^{2}} \)   tem dimensão de velocidade v divida pelo comprimento ao quadrado x2 (a operação de derivada segunda d2 não tem dimensão), a velocidade v tem dimensão de comprimento x dividida pelo tempo t
\[ \begin{gather} \left[\frac{dv}{dx}\right]=\frac{[v]}{\left([x]\right)^{2}}=\frac{\frac{[x]}{[t]}}{\left([x]\right)^{2}}=\frac{\frac{L}{T}}{L^{2}}=\frac{LT^{-1}}{L^{2}}=LT^{-1}L^{-2}=L^{-1}T^{-1} \end{gather} \]
o segundo termo do direito da equação tem a dimensão
\[ \begin{gather} \left[\eta \frac{dv}{dx}\right]=[\eta]\left[\frac{dv}{dx}\right]=ML^{-2}T^{-2}\\[5pt] [\eta]L^{-1}T^{-1}=ML^{-2}T^{-2}\\[5pt] [\eta]=\frac{ML^{-2}T^{-2}}{L^{-1}T^{-1}}\\[5pt] [\eta]=ML^{-2}T^{-2}LT \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {[\eta ]=ML^{-1}T^{-1}} \end{gather} \]
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