Exercício Resolvido de Análise Dimensional
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Na equação abaixo x tem dimensão de comprimento e t tem dimensão de tempo
\[ \begin{gather} x=a\operatorname{e}^{-bt}\cos \left(\theta +b^{2}ct\right) \end{gather} \]
determine as dimensões das grandezas a, b, c e θ.


Solução

Do lado esquerdo da igualdade x tem dimensão de comprimento, L, então o lado direito deve ter a mesma dimensão.
Começando pela função cosseno:

  • θ é a medida de um ângulo dado em radianos que é uma unidade adimensional.


Observação: A media de um ângulo é a razão entre o comprimento do arco e o comprimento do raio, que podem ser dados em milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m), polegadas (in), pé (ft) ou qualquer outra unidade de comprimento
\[ \begin{gather} \theta=\frac{s}{r}=\frac{1\;\cancel{\text{m}}}{1\;\cancel{\text{m}}}=\frac{1\;\cancel{\text{ft}}}{1\;\cancel{\text{ft}}}=1\;\text{rad} \end{gather} \]
a medida do ângulo é independente da medida usada para as grandezas.

[θ] = 1.
  • O termo b2ct deve ser adimensional, como t tem dimensão de tempo, T, para que o termo seja adimensional devemos ter a dimensão de c igual ao tempo, T, e b deve ter dimensão do inverso do tempo, T−1.
    • .
Observação:
\[ \begin{gather} [b]^{2}[c][t]=\left(T^{-1}\right)^{2}TT=T^{-2}T^{2}=1 \end{gather} \]

[c] = T.

[b] = T−1.

Observação: Com o valor encontrado para a grandeza b acima, o termo da exponencial também será adimensional
\[ \begin{gather} \operatorname{e}^{T^{-1}T}=\operatorname{e}^{1}=\operatorname{e} \end{gather} \]
onde e é um número real igual a 2,71828... .

  • a deve ter dimensão de comprimento L para que os dois lados da igualdade sejam dimensionalmente consistentes, já que o termo da exponencial e do cosseno são adimensionais.
[a] = L.

Observação:
\[ \begin{gather} \underbrace{[x]}_{L}=[a]\underbrace{\operatorname{e}^{\underbrace{-bt}_{\text{adimensional}}}}_{\text{adimensional}}\underbrace{\cos\left(\underbrace{\theta}_{\text{adimensional}}+\underbrace{b^{2}ct}_{\text{adimensional}}\right)}_{\text{adimensional}}\\[5pt] \underbrace{[x]}_{L}=\underbrace{[a]}_{L} \end{gather} \]
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