Exercício Resolvido de Análise Dimensional
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Durante a apresentação de um projeto de um sistema acústico, um estudante esqueceu-se da expressão da intensidade de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, concluiu ele que a intensidade média (I) é uma função da amplitude do movimento do ar (A), da frequência (f), da densidade do ar (ρ) e da velocidade do som (c), chegando à expressão \( I=A^{x}.f^{y}.\rho ^{z}.c \). Considerando as grandezas fundamentais, massa, comprimento e tempo, encontre os valores dos expoentes x, y, e z.


Solução

Do enunciado temos que a Equação Dimensional será
\[ \begin{gather} [I]=[A]^{x}.[f]^{y}.[\rho ]^{z}.[c] \tag{I} \end{gather} \]
O lado esquerdo da igualdade pode ser escrito em termos de grandezas fundamentais
A intensidade (I) é igual à potência (\( \mathscr{P} \)) dividida pela área (A).
\[ \begin{gather} I=\frac{\mathscr{P}}{A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{potência}]}{[\text{área}]} \tag{II} \end{gather} \]
A potência (\( \mathscr{P} \)) é igual ao trabalho (W) dividido pelo intervalo de tempo (Δt). Área (A) é igual ao comprimento ao quadrado (S2)
\[ \begin{align} & \mathscr{P}=\frac{W}{\Delta t} \quad , \quad [\text{potência}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}]} \tag{III} \\[10pt] & A=S^{2} \quad , \quad [\text{área}]=[\text{comprimento}]^{2} \tag{IV} \end{align} \]
substituindo as relações (III) e (IV) na relação (II)
\[ \begin{gather} I=\frac{W}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{V} \end{gather} \]
O trabalho (W) é igual à força (F) multiplicado pelo deslocamento (d)
\[ \begin{gather} W=F.d \quad , \quad [\text{trabalho}]=[\text{força}].[\text{comprimento}] \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a relação (VI) na relação (V)
\[ \begin{gather} I=\frac{F.d}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{força}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{VII} \end{gather} \]
A força (F) é igual à massa (m) multiplicada pela aceleração (a)
\[ \begin{gather} F=m.a \quad , \quad [\text{força}]=[\text{massa}].[\text{aceleração}] \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a relação (VIII) na relação (VII)
\[ \begin{gather} I=\frac{m.a.d}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{aceleração}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{IX} \end{gather} \]
A aceleração (a) é igual à variação da velocidade (Δv) dividida pelo intervalo de tempo (Δt), sendo igual à variação do deslocamento (ΔS) dividido pelo intervalo de tempo ao quadrado (Δt2)
\[ \begin{gather} a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\Delta S}{\Delta t^{2}} \quad , \quad [\text{aceleração}]=\frac{[\text{velocidade}]}{[\text{intervalo de tempo}]}=\frac{[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}]^{2}} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a relação (X) na relação (IX)
\[ \begin{gather} I=\frac{m.d^{2}}{\Delta t^{3} .A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{comprimento}]^{2}}{[\text{intervalo de tempo}]^{3}.[\text{área}]} \end{gather} \]
em termos de M, L e T para as dimensões de massa, comprimento e tempo
\[ \begin{gather} I=\frac{M.\cancel{L^{2}}}{T^{3}.\cancel{L^{2}}}=\frac{M}{T^{3}}=M.T^{-3} \tag{XI} \end{gather} \]
O lado direito da equação (I) terá as seguintes dimensões
  • Amplitude do movimento do ar, dada em dimensão de comprimento:    \( [A]=L \);
  • Frequência, dada em dimensão do inverso do tempo:    \( [f]=\dfrac{1}{T}=T^{-1} \);
  • Densidade do ar dada em dimensão de massa por volume:    \( [\rho ]=\dfrac{M}{L^{3}}=M.L^{-3} \);
  • Velocidade do som, dada em dimensão de deslocamento por tempo:    \( [c]=\dfrac{L}{T}=L.T^{-1} \).
Assim o lado direito da equação (I) terá as dimensões
\[ \begin{gather} [A]^{x}.[f]^{y}.[\rho]^{z}.[c]=L^{x}.\left(T^{-1}\right)^{y}.\left(M . L^{-3}\right)^{z}. L . T^{-1} \tag{XII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (XI) e (XII) na equação (I)
\[ M .T^{-3}=L^{x}.\left(T^{-1}\right)^{y}.\left(M .L^{-3}\right)^{z}.L .T^{-1} \]
no lado esquerdo não há uma dimensão de comprimento, então escrevemos como L0
\[ M . T^{-3}.L^{0}=L^{x}.T^{-y}.M^{z}.L^{-3z}.L^{1}.T^{-1} \]
coletando os termos semelhantes do lado direito da expressão
\[ M . T^{-3}.L^{0}=L^{x-3z+1}.T^{-y-1}.M^{z} \]
igualando os expoentes de grandezas iguais do lado direito e esquerdo
\[ \left\{ \begin{array}{l} z=1\\ -y-1=-3\\ x-3z+1=0 \end{array} \right. \tag{IV} \]
Da primeira equação do sistema (IV) temos o valor de z
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {z=1} \]
Da segunda equação do sistema (IV)
\[ \begin{gather} -y-1=-3\\ y=3+1 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {y=2} \]
Substituindo o valor de z encontrado acima na terceira equação do sistema (IV)
\[ \begin{gather} x-3.1+1=0\\ x-3+1=0\\ x-2=0 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x=2} \]
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