Durante a apresentação de um projeto de um sistema acústico, um estudante esqueceu-se da equação da
intensidade de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, concluiu ele que a intensidade média (I)
é uma função da amplitude do movimento do ar (A), da frequência (f), da densidade do ar
(ρ) e da velocidade do som (c), chegando à equação
\( I=A^x.f^y.\rho^z.c \).
Considerando as grandezas fundamentais, massa, comprimento e tempo, encontre os valores dos expoentes
x, y, e z.
Solução:
Do enunciado temos que a Equação Dimensional será
\[
\begin{gather}
[I]=[A]^x.[f]^y.[\rho ]^z.[c] \tag{I}
\end{gather}
\]
O lado esquerdo da igualdade pode ser escrito em termos de grandezas fundamentais
A intensidade (I) é igual à potência
(\( \mathscr P \))
dividida pela área (A).
\[
\begin{gather}
I=\frac{\mathscr P}{A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{potência}]}{[\text{área}]} \tag{II}
\end{gather}
\]
A potência
(\( \mathscr P \))
é igual ao trabalho (W) dividido pelo intervalo de tempo (Δt). Área (A) é igual
ao comprimento ao quadrado (S2)
\[
\begin{align}
& \mathscr P=\frac{W}{\Delta t} \quad , \quad [\text{potência}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}]} \tag{III} \\[10pt]
& A=S^2 \quad , \quad [\text{área}]=[\text{comprimento}]^2 \tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo as relações (III) e (IV) na relação (II)
\[
\begin{gather}
I=\frac{W}{\Delta t.S^2} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^2} \tag{V}
\end{gather}
\]
O trabalho (W) é igual à força (F) multiplicado pelo deslocamento (d)
\[
\begin{gather}
W=F.d \quad , \quad [\text{trabalho}]=[\text{força}].[\text{comprimento}] \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (VI) na relação (V)
\[
\begin{gather}
I=\frac{F.d}{\Delta t.S^2} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{força}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
A força (F) é igual à massa (m) multiplicada pela aceleração (a)
\[
\begin{gather}
F=m.a \quad , \quad [\text{força}]=[\text{massa}].[\text{aceleração}] \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (VIII) na relação (VII)
\[
\begin{gather}
I=\frac{m.a.d}{\Delta t.S^2} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{aceleração}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^2} \tag{IX}
\end{gather}
\]
A aceleração (a) é igual à variação da velocidade (Δv) dividida pelo intervalo de tempo
(Δt), sendo igual à variação do deslocamento (ΔS) dividido pelo intervalo de
tempo ao quadrado (Δt2)
\[
\begin{gather}
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\Delta S}{\Delta t^2} \quad , \quad [\text{aceleração}]=\frac{[\text{velocidade}]}{[\text{intervalo de tempo}]}=\frac{[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}]^2} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (X) na relação (IX)
\[
\begin{gather}
I=\frac{m.d^2}{\Delta t^3.A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{comprimento}]^2}{[\text{intervalo de tempo}]^3.[\text{área}]}
\end{gather}
\]
em termos de M, L e T para as dimensões de massa, comprimento e tempo
\[
\begin{gather}
I=\frac{M.\cancel{L^2}}{T^3.\cancel{L^2}}=\frac{M}{T^3}=M.T^{-3} \tag{XI}
\end{gather}
\]
O lado direito da equação (I) terá as seguintes dimensões
-
Amplitude do movimento do ar, dada em dimensão de comprimento:
\( [A]=L \);
-
Frequência, dada em dimensão do inverso do tempo:
\( [f]=\dfrac{1}{T}=T^{-1} \);
-
Densidade do ar dada em dimensão de massa por volume:
\( [\rho ]=\dfrac{M}{L^3}=M.L^{-3} \);
-
Velocidade do som, dada em dimensão de deslocamento por tempo:
\( [c]=\dfrac{L}{T}=L.T^{-1} \).
Assim o lado direito da equação (I) terá as dimensões
\[
\begin{gather}
[A]^x.[f]^y.[\rho]^z.[c]=L^x.\left(T^{-1}\right)^y.\left(M . L^{-3}\right)^z. L . T^{-1} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (XI) e (XII) na equação (I)
\[
\begin{gather}
M .T^{-3}=L^x.\left(T^{-1}\right)^y.\left(M .L^{-3}\right)^z.L .T^{-1}
\end{gather}
\]
no lado esquerdo não há uma dimensão de comprimento, então escrevemos como L0
\[
\begin{gather}
M . T^{-3}.L^{0}=L^x.T^{-y}.M^z.L^{-3z}.L^{1}.T^{-1}
\end{gather}
\]
coletando os termos semelhantes do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
M . T^{-3}.L^{0}=L^{x-3z+1}.T^{-y-1}.M^z
\end{gather}
\]
igualando os expoentes de grandezas iguais do lado direito e esquerdo
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
z=1 \\
-y-1=-3 \\
x-3z+1=0
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da primeira equação do sistema (IV) temos o valor de z
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{z=1}
\end{gather}
\]
Da segunda equação do sistema (IV)
\[
\begin{gather}
-y-1=-3\\
y=3+1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{y=2}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de z encontrado acima na terceira equação do sistema (IV)
\[
\begin{gather}
x-3.1+1=0\\
x-3+1=0\\
x-2=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=2}
\end{gather}
\]
EN