Durante a apresentação de um projeto de um sistema acústico, um estudante esqueceu-se da expressão da
intensidade de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, concluiu ele que a intensidade média (
I)
é uma função da amplitude do movimento do ar (
A), da frequência (
f), da densidade do ar
(
ρ) e da velocidade do som (
c), chegando à expressão
\( I=A^{x}.f^{y}.\rho ^{z}.c \).
Considerando as grandezas fundamentais, massa, comprimento e tempo, encontre os valores dos expoentes
x,
y, e
z.
Solução
Do enunciado temos que a
Equação Dimensional será
\[
\begin{gather}
[I]=[A]^{x}.[f]^{y}.[\rho ]^{z}.[c] \tag{I}
\end{gather}
\]
O lado esquerdo da igualdade pode ser escrito em termos de grandezas fundamentais
A intensidade (
I) é igual à potência
(
\( \mathscr{P} \))
dividida pela área (
A).
\[
\begin{gather}
I=\frac{\mathscr{P}}{A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{potência}]}{[\text{área}]} \tag{II}
\end{gather}
\]
A potência
(
\( \mathscr{P} \))
é igual ao trabalho (
W) dividido pelo intervalo de tempo (Δ
t). Área (
A) é igual
ao comprimento ao quadrado (
S2)
\[
\begin{align}
& \mathscr{P}=\frac{W}{\Delta t} \quad , \quad [\text{potência}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}]} \tag{III} \\[10pt]
& A=S^{2} \quad , \quad [\text{área}]=[\text{comprimento}]^{2} \tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo as relações (III) e (IV) na relação (II)
\[
\begin{gather}
I=\frac{W}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{trabalho}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
O trabalho (
W) é igual à força (
F) multiplicado pelo deslocamento (
d)
\[
\begin{gather}
W=F.d \quad , \quad [\text{trabalho}]=[\text{força}].[\text{comprimento}] \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (VI) na relação (V)
\[
\begin{gather}
I=\frac{F.d}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{força}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
A força (
F) é igual à massa (
m) multiplicada pela aceleração (
a)
\[
\begin{gather}
F=m.a \quad , \quad [\text{força}]=[\text{massa}].[\text{aceleração}] \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (VIII) na relação (VII)
\[
\begin{gather}
I=\frac{m.a.d}{\Delta t.S^{2}} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{aceleração}].[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}].[\text{comprimento}]^{2}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
A aceleração (
a) é igual à variação da velocidade (Δ
v) dividida pelo intervalo de tempo
(Δ
t), sendo igual à variação do deslocamento (Δ
S) dividido pelo intervalo de tempo
ao quadrado (Δ
t2)
\[
\begin{gather}
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\Delta S}{\Delta t^{2}} \quad , \quad [\text{aceleração}]=\frac{[\text{velocidade}]}{[\text{intervalo de tempo}]}=\frac{[\text{comprimento}]}{[\text{intervalo de tempo}]^{2}} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a relação (X) na relação (IX)
\[
\begin{gather}
I=\frac{m.d^{2}}{\Delta t^{3} .A} \quad , \quad [\text{intensidade}]=\frac{[\text{massa}].[\text{comprimento}]^{2}}{[\text{intervalo de tempo}]^{3}.[\text{área}]}
\end{gather}
\]
em termos de
M,
L e
T para as dimensões de massa, comprimento e tempo
\[
\begin{gather}
I=\frac{M.\cancel{L^{2}}}{T^{3}.\cancel{L^{2}}}=\frac{M}{T^{3}}=M.T^{-3} \tag{XI}
\end{gather}
\]
O lado direito da equação (I) terá as seguintes dimensões
- Amplitude do movimento do ar, dada em dimensão de comprimento: \( [A]=L \);
- Frequência, dada em dimensão do inverso do tempo: \( [f]=\dfrac{1}{T}=T^{-1} \);
- Densidade do ar dada em dimensão de massa por volume: \( [\rho ]=\dfrac{M}{L^{3}}=M.L^{-3} \);
- Velocidade do som, dada em dimensão de deslocamento por tempo: \( [c]=\dfrac{L}{T}=L.T^{-1} \).
Assim o lado direito da equação (I) terá as dimensões
\[
\begin{gather}
[A]^{x}.[f]^{y}.[\rho]^{z}.[c]=L^{x}.\left(T^{-1}\right)^{y}.\left(M . L^{-3}\right)^{z}. L . T^{-1} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XI) e (XII) na equação (I)
\[
M .T^{-3}=L^{x}.\left(T^{-1}\right)^{y}.\left(M .L^{-3}\right)^{z}.L .T^{-1}
\]
no lado esquerdo não há uma dimensão de comprimento, então escrevemos como
L0
\[
M . T^{-3}.L^{0}=L^{x}.T^{-y}.M^{z}.L^{-3z}.L^{1}.T^{-1}
\]
coletando os termos semelhantes do lado direito da expressão
\[
M . T^{-3}.L^{0}=L^{x-3z+1}.T^{-y-1}.M^{z}
\]
igualando os expoentes de grandezas iguais do lado direito e esquerdo
\[
\left\{
\begin{array}{l}
z=1\\
-y-1=-3\\
x-3z+1=0
\end{array}
\right. \tag{IV}
\]
Da primeira equação do sistema (IV) temos o valor de
z
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{z=1}
\]
Da segunda equação do sistema (IV)
\[
\begin{gather}
-y-1=-3\\
y=3+1
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y=2}
\]
Substituindo o valor de z encontrado acima na terceira equação do sistema (IV)
\[
\begin{gather}
x-3.1+1=0\\
x-3+1=0\\
x-2=0
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{x=2}
\]