Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
publicidade

De duas cidades A e B, separadas por uma distância ΔS, partem, ao nascer do Sol, um carro de cada cidade com destino a outra com velocidades constantes. Ao meio-dia eles se cruzam, o carro que partiu da cidade A chega a cidade B às 16 horas, e o carro que partiu da cidade B chega a cidade A às 21 horas. Determinar a que horas nasceu o Sol.

Dados do problema:

  • Distância entre as cidades: ΔS;
  • Instante do cruzamento entre os carros: t = 12 h;
  • Instante da chegada do carro de A em B: tAB = 16 h;
  • Instante da chegada do carro de B em A: tBA = 21 h;
  • Velocidade do carro que partiu da cidade A: va;
  • Velocidade do carro que partiu da cidade B: vb.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

A distância total percorrida pelos carros é ΔS, dividindo este intervalo em duas partes, ΔS1 - distância percorrida pelo carro que saiu de A até o instante do encontro com o outro carro, e, ΔS2 - distância percorrida pelo carro que saiu de B até o encontro, temos \( \Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2 \). Os dois intervalos são diferentes, pois os carros se encontram no meio do dia (12 h), mas não no meio do caminho, eles saem de suas cidades a mesma hora (nascer do Sol), mas chegam com horários diferentes, logo suas velocidades são diferentes.
Os carros estão se movimentando com velocidade constante, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), neste tipo de movimento a velocidade média no trajeto coincide com a velocidade do móvel em qualquer ponto da trajetória, e é dada pela equação da velocidade média

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{S_f-S_i}{t_f-t_i}} \tag{I} \end{gather} \]

Escrevendo a equação (I) para o carro de A nos intervalos ΔS1 e ΔS2, e sendo ts o instante inicial do nascer do Sol

\[ \begin{gather} v_a=\frac{\Delta S_1}{(12-t_s)} \\[5pt] \Delta S_1=v_a(12-t_s) \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_a=\frac{\Delta S_2}{(16-12)}=\frac{\Delta S_2}{4} \\[5pt] \Delta S_2=4\,v_a \tag{III} \end{gather} \]

as equações para o carro que parte de B serão

\[ \begin{gather} v_b=\frac{\Delta S_2}{(12-t_s)} \\[5pt] \Delta S_2=v_b (12-t_s) \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_b=\frac{\Delta S_1}{(21-12)}=\frac{\Delta S_1}{9} \\[5pt] \Delta S_1=9 v_b \tag{V} \end{gather} \]

As equações (II), (III), (IV) e (V) formam o seguinte sistema

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \Delta S_2=v_b(12-t_s) \\ \Delta S_2=4 v_a \\ \Delta S_2=v_b(12-t_s) \\ \Delta S_1=9 v_b \end{array} \right. \end{gather} \]

este sistema possui quatro equações e cinco incógnitas, ΔS1, ΔS2, va, vb e ts, é um sistema indeterminado.
Como va aparece nas equações (II) e (III) podemos encontrar uma relação entre elas dividindo uma equação pela outra.

\[ \begin{gather} \frac{\Delta S_1}{\Delta S_2}=\frac{\cancel{v_a} (12-t_s)}{4\cancel{v_a}} \\[5pt] 4 \Delta S_1=(12-t_s)\Delta S_2 \tag{VI} \end{gather} \]

Analogamente vb aparece nas equações (IV) e (V), dividindo uma equação pela outra

\[ \begin{gather} \frac{\Delta S_2}{\Delta S_1}=\frac{\cancel{v_b} (12-t_s)}{9\cancel{v_b}} \\[5pt] (12-t_s)\Delta S_1=9 \Delta S_2 \tag{VII} \end{gather} \]

As equações (VI) e (VII) formam um sistema de duas equações

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} 4 \Delta S_1=(12-t_s)\Delta S_2 \\ (12-t_s)\Delta S_1=9 \Delta S_2 \end{array} \right. \end{gather} \]

este sistema também é indeterminado, pois possui duas equações e três incógnitas, ΔS1, ΔS2 e ts, dividindo a equação (VI) por (VII)

\[ \begin{gather} \frac{4 \cancel{\Delta S_1}}{(12-t_s)\cancel{\Delta S_1}}=\frac{(12-t_s)\cancel{\Delta S_2}}{9 \cancel{\Delta S_2}} \end{gather} \]

multiplicando em cruz

\[ \begin{gather} 4\times 9=(12-t_s)(12-t_s) \\[5pt] 36=(12-t_s)^2 \end{gather} \]
Dos Produtos Notáveis   \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

podemos escrever a equação do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 36=144-24 t_s+t_s^2 \\[5pt] t_s^2-24t_s+144-36=0 \\[5pt] t_s^2-24t_s+108=0 \end{gather} \]

Esta é uma Equação de 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado ts.

Solução da Equação de 2.º Grau \( t_s^2-24t_s+108=0 \)
\[ \begin{array}{l} \Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4\times 1\times 108=576-432=144 \\[10pt] t_s=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta \,}}{2a}=\dfrac{-(-24)\pm\sqrt{144\,}}{2\times 1}=\dfrac{24\pm 12}{2} \end{array} \]
as duas raízes da equação serão
\[ \begin{gather} t_{s1}=18\;\mathrm h \qquad\text{e}\qquad t_{s2}=6\;\mathrm h \end{gather} \]

o horário do nascer do Sol foi às 6 h.

Observação: A solução da equação além de fornecer a hora que nasce o Sol, pedido no problema, ainda dá a hora do por do Sol às 18 h.
publicidade