Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Dois trens partem simultaneamente das estações P e Q. O que sai de P dirige-se para Q e o que sai de Q dirigi-se para P em linhas paralelas. O primeiro chega ao seu destino 25 minutos depois de ter passado pelo segundo, e este chega a P 49 minutos depois do cruzamento. Pede-se a razão da velocidade dos dois trens sabendo-se que suas velocidades são constantes.

Dados do problema:

Instante de chegada do primeiro trem à estação Q: t_p = 25 minutos após o cruzamento;
Instante de chegada do segundo trem à estação P: t_q = 49 minutos após o cruzamento.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Os trens estão se movimentando com velocidades constantes, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.). Neste tipo de movimento a velocidade média no trajeto coincide com a velocidade do móvel em qualquer ponto da trajetória, e é dada pela equação da velocidade média

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]

Escrevendo a equação (I) para o trem que sai de P, nos intervalos ΔS₁ e ΔS₂, e Δt o intervalo de tempo desde que o trem sai da estação até o ponto E em que os trens se cruzam

\[ \begin{gather} v_p=\frac{\Delta S_1}{\Delta t} \tag{II} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v_p=\frac{\Delta S_2}{25} \tag{III} \end{gather} \]

as equações para o trem que sai de Q serão

\[ \begin{gather} v_q=\frac{\Delta S_2}{\Delta t} \tag{IV} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v_q=\frac{\Delta S_1}{49} \tag{V} \end{gather} \]

As equações (II), (III), (IV) e (V) formam o seguinte sistema

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} \Delta S_1=v_p\Delta t \\ \Delta S_2=25v_p \\ \Delta S_2=v_q\Delta t \\ \Delta S_1=49v_q \end{matrix} \right. \end{gather} \]

este sistema possui quatro equações e cinco incógnitas (ΔS₁, ΔS₂, v_p, v_q e Δt) então é um sistema indeterminado.
Dividindo a primeira equação do sistema pela quarta equação e a segunda pela terceira equação eliminamos os termos ΔS₁ e ΔS₂

\[ \begin{gather} \frac{\Delta S_1}{\Delta S_1}=\frac{v_p\Delta t}{49v_q} \\[5pt] 1=\frac{v_p\Delta t}{49v_q} \\[5pt] \frac{v_p}{v_q}=\frac{49}{\Delta t} \tag{VI} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{\Delta S_2}{\Delta S_2}=\frac{25v_p}{v_q\Delta t} \\[5pt] 1=\frac{25v_p}{v_q\Delta t} \\[5pt] \frac{v_p}{v_q}=\frac{\Delta t}{25} \tag{VII} \end{gather} \]

igualando as relações (VI) e (VII)

\[ \begin{gather} \frac{49}{\Delta t}=\frac{\Delta t}{25} \\[5pt] 49\times 25=\Delta t^2 \\[5pt] \Delta t=\sqrt{49\times 25} \end{gather} \]

Usando a propriedade dos radicais \( \sqrt[{n}]{a b}=\sqrt[{n}]{a}\sqrt[{n}]{b} \)

\[ \begin{gather} \Delta t=\sqrt{49}\times\sqrt{25} \\[5pt] \Delta t=7\times 5 \\[5pt] \Delta t=35\;\mathrm{min} \end{gather} \]

este é o intervalo de tempos que os trem levam desde que partem das estações P e Q até o ponto onde eles se cruzam. Substituindo este intervalo de tempo na relção (VI)

\[ \begin{gather} \frac{v_p}{v_q}=\frac{49}{35} \end{gather} \]

dividindo o numerador e o denominador por 7

\[ \begin{gather} \frac{v_p}{v_q}=\frac{49:7}{35:7} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{v_p}{v_q}=\frac{7}{5}} \end{gather} \]

Observação: Poderíamos substituir o intervalo de tempo Δt na relação (VII) daria o mesmo resultado.

\[ \begin{gather} \frac{v_p}{v_q}=\frac{35}{25} \end{gather} \]

dividindo o numerador e o denominador por 5

\[ \begin{gather} \frac{v_p}{v_q}=\frac{35:5}{25:5} \\[5pt] \frac{v_p}{v_q}=\frac{7}{5} \end{gather} \]