Uma raposa, perseguida por um galgo, tem 63 pulos de dianteira sobre o cão. O galgo dá 3 pulos enquanto a
raposa dá 4 pulos, porém 6 pulos do galgo valem 10 pulos da raposa. Quantos pulos o galgo deve dar para
alcançar a raposa?
Dados do problema:
- Vantagem da raposa sobre o galgo: 63 pulos de raposa;
- Proporção entre os pulos do galgo e da raposa: \( \dfrac{6\;\text{pulos de galgo}}{10\;\text{pulos de reposa}} \);
- Pulos do galgo em uma unidade de tempo: 3 pulos de galgo/unidade de tempo;
- Pulos de raposa em uma unidade de tempo: 4 pulos de raposa/unidade de tempo.
Solução:
Como 6 pulos do galgo (pg) valem 10 pulos da raposa (pr), isto representa um fator de conversão (Figura 1)
\[
\begin{gather}
6\;\mathrm{pg}=10\;\mathrm{pr}
\end{gather}
\]
Observação: Isto é um fator de conversão como no caso em que dizemos que 1 pé = 0,3046 metros
\[
\begin{gather}
1\;\mathrm{ft}=0,3048\;\mathrm m
\end{gather}
\]
só que neste caso as unidades de medidas são pulos de galgo e de raposa.
No mesmo intervalo de tempo que o galgo dá 3 pulos a raposa dá 4 pulos (Figura 2). Vamos tomar este
intervalo de tempo, que é o mesmo para os dois, como sendo a unidade de tempo (ut). A velocidade do galgo
será
\[
\begin{gather}
v_g=3\;\mathrm{pg/ut}
\end{gather}
\]
a velocidade da raposa será
\[
\begin{gather}
v_r=4\;\mathrm{pr/ut}
\end{gather}
\]
Observação: Estes dois valores representam velocidades em unidades diferentes, como se
tivéssemos dois corpos com velocidades, por exemplo
\[
\begin{gather}
v_1=5\;\mathrm{ft/s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=8\;\mathrm{m/s}
\end{gather}
\]
A raposa tem 63 pulos (de raposa) de vantagem, esta é a posição inicial da raposa
\[
\begin{gather}
S_{0r}=63\;\mathrm{pr}
\end{gather}
\]
Como queremos o número de pulos do galgo vamos converter a velocidade da raposa e a posição inicial da
raposa para pulo de galgo
\[
\begin{gather}
S_{0r}=63\;\mathrm{\cancel{pr}}\times\frac{6\;\mathrm{pg}}{10\;\mathrm{\cancel{pr}}}=\frac{378}{10}\;\mathrm{pg} \\[10pt]
v_r=4\;\frac{\mathrm{\cancel{pr}}}{\mathrm{ut}}\times\frac{6\;\mathrm{pg}}{10\;\mathrm{\cancel{pr}}}=\frac{24}{10}\;\mathrm{pg/ut}
\end{gather}
\]
Assim podemos esquematizar o problema (Figura 3)
Como os dois animais têm velocidades constantes eles estão em Movimento Retilíneo Uniforme
(M.R.U.), dado pela expressão
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+vt}
\end{gather}
\]
Adotamos que o galgo parte da origem, S0g=0, aplicando a expressão acima para os
dois animais
\[
\begin{gather}
S_g=S_{0g}+v_gt \\[5pt]
S_g=3t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
S_r=S_{0r}+v_rt \\[5pt]
S_r=\frac{378}{10}+\frac{24}{10}t
\end{gather}
\]
Igualando as duas expressões temos o instante em que o galgo alcança a raposa
\[
\begin{gather}
S_g=S_r \\[5pt]
3t=\frac{378}{10}+\frac{24}{10}t \\[5pt]
3t-\frac{24}{10}t=\frac{378}{10}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da expressão por 10
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad\quad 3t-\frac{24}{10}t=\frac{378}{10} \qquad \times{(10)} \\[5pt]
10\times 3t-\cancel{10}\times\frac{24}{\cancel{10}}t=\cancel{10}\times\frac{378}{\cancel{10}} \\[5pt]
30t-24t=378 \\[5pt]
6t=378 \\[5pt]
t=\frac{378}{6} \\[5pt]
t=63\;\mathrm{ut}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão do galgo
\[
\begin{gather}
S_g=3\times 63
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_g=189\;\mathrm{pg}}
\end{gather}
\]
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