Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Dois trens de 120 e 280 metros de comprimento movem-se em linhas paralelas retilíneas e com velocidades constantes. Quando os dois trens se movem no mesmo sentido são necessários 20 segundos para que o primeiro trem ultrapasse o segundo, quando se movem em sentidos opostos são necessários 10 segundos para que um passe pelo outro. Determinar as velocidades dos trens.

Dados do problema:

Comprimento do trem 1: d₁ = 120 m;
Comprimento do trem 2: d₂ = 280 m;
Intervalo de tempo para ultrapassagem no mesmo sentido: t_a = 20 s;
Intervalo de tempo para ultrapassagem em sentidos opostos: t_b = 10 s.

Esquema do problema:

Os dois trens possuem dimensões relevantes para o problema eles são considerados objetos extensos.
Se eles se movem no mesmo sentido a ultrapassagem começa quando, a parte dianteira do trem de trás alcança a parte traseira do trem da frente, e termina quando, a parte traseira do primeiro trem passa pela parte da frente do segundo trem.

Figura 1

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita. O problema pode ser reduzido a um ponto material, que representa a parte traseira do primeiro trem na origem do referencial S₀₁ = 0 com velocidade v₁, e outro ponto material que representa a parte dianteira do segundo trem, em um ponto dado pela soma dos comprimentos dos dois trens 120+280=400 m, à frente S₀₂ = 400 m com velocidade v₂. A ultrapassagem ocorre quando estes dois pontos se encontram (Figura 1).
Se eles se movem em sentidos opostos a ultrapassagem começa quando, a parte dianteira do trem de trás encontra a parte dianteira do trem da frente, e termina quando, a parte traseira do primeiro trem passa pela parte traseira do segundo trem.

Figura 2

Solução:

Os dois pontos estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \tag{I} \end{gather} \]

escrevendo a equação (I) para os dois pontos se movendo no mesmo sentido (Figura 1), para o primeiro trem

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1t_{A} \\[5pt] S_1=0+v_1\times 20 \\[5pt] S_1=20v_1 \tag{II} \end{gather} \]

para o segundo trem

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2t_{A} \\[5pt] S_2=400+20v_2 \tag{III} \end{gather} \]

Impondo a condição de que quando os dois móveis se encontram eles ocupam a mesma posição na trajetória igualamos as equações (II) e (III)

\[ \begin{gather} S_1=S_2 \\[5pt] 20v_1=400+20v_2 \\[5pt] 20v_1-20v_2=400 \tag{IV} \end{gather} \]

Escrevendo a equação dos dois pontos para o movimento em sentidos opostos (Figura 2), para o primeiro trem

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1t_b \\[5pt] S_1=0+v_1\times 10 \\[5pt] S_1=10v_1 \tag{V} \end{gather} \]

para o segundo trem

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}-v_2t_b \\[5pt] S_2=400-10v_2 \tag{VI} \end{gather} \]

Impondo a condição de que quando os dois móveis se cruzam eles ocupam a mesma posição na trajetória igualamos as equações (IV) e (V)

\[ \begin{gather} S_1=S_2 \\[5pt] 10v_1=400-10v_2 \\[5pt] 10v_1+10v_2=400 \tag{VII} \end{gather} \]

As equações (IV) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, v₁ e v₂

\[ \left\{ \begin{array}{l} 20v_1-20v_2=400 \\[5pt] 10v_1+10v_2=400 \end{array} \right. \tag{VIII} \]

multiplicando a segunda equação do sistema (VIII) por 2 e somando com a primeria equação

\[ \begin{gather} \qquad\qquad \left\{ \begin{array}{l} 20v_1-20v_2=400 \\ 10v_1+10v_2=400 \qquad (\times 2) \end{array} \right. \\[10pt] \frac{ \begin{align} 20v_1-20v_2&=400\quad\; \\[5pt] (+)\;20v_1+20v_2&=800\quad\; \end{align} } {40v_1+0v_2=1200} \\[5pt] 40v_1=1200 \\[5pt] v_1=\frac{1200}{40} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_1=30\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

Substituindo este valor de v₁ em qualquer uma das equações do sistema (VIII), obtemos o valor de v₂, substituindo na segunda equação

\[ \begin{gather} 10.30+10v_2=400 \\[5pt] 300+10v_2=400 \\[5pt] 10v_2=400-300 \\[5pt] 10v_2=100 \\[5pt] v_2=\frac{1000}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_2=10\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]