Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um trem de 100 m de comprimento corre paralelamente a um automóvel de dimensões desprezíveis. Seus movimentos são retilíneos, em um mesmo sentido, e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem, ambas constantes. Qual o espaço percorrido pelo automóvel para ultrapassar o trem?

Dados do problema:

  • Comprimento do trem: d = 100 m;
  • Velocidade do trem: vt = v;
  • Velocidade do automóvel: va = 2v.

Esquema do problema:

Como o automóvel possui dimensões desprezíveis, comparadas com as dimensões do trem, ele pode ser considerado um ponto material, enquanto as dimensões do trem são relevantes para o problema, ele é um objeto extenso.
A ultrapassagem começa quanto o automóvel alcança a parte traseira do trem e termina quando ele alcança a parte dianteira do trem (Figura 1).

Figura 1

Adotando um sistema de referência orientado para a direita. O problema pode ser reduzido a um ponto material, que representa o automóvel, na origem do referencial, S0a = 0, com velocidade 2v, e outro ponto material que representa a parte dianteira do trem 100 m a frente, S0t = 100 m, com velocidade v. A ultrapassagem ocorre quando estes dois pontos se encontram.

Solução:

Os dois pontos estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0vt} \end{gather} \]

escrevendo as equações horárias dos dois pontos, para o automóvel

\[ \begin{gather} S_a=S_{0a}v_at \\[5pt] S_a=0+2vt \\[5pt] S_a=2vt \tag{I} \end{gather} \]

para o trem

\[ \begin{gather} S_t=S_{0t}v_tt \\[5pt] S_t=100+vt \tag{II} \end{gather} \]

Impondo a condição de que, quando os dois móveis se encontram eles ocupam a mesma posição na trajetória, igualamos as equações (I) e (II)

\[ \begin{gather} S_a=S_t \\[5pt] 2vt=100+vt \\[5pt] 2vt-vt=100 \\[5pt] vt=100 \\[5pt] t=\frac{100}{v} \end{gather} \]

este será o intervalo de tempo que a ultrapassagem leva para acontecer, substituindo este resultado em qualquer uma das equações horárias temos o espaço percorrido pelo automóvel para ultrapassar o trem, substituindo em (I)

\[ \begin{gather} S_a=2\cancel v\frac{100}{\cancel v} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_a=200\;\mathrm m} \end{gather} \]
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