Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Uma polia A, de raio 0,15 m, inicia seu movimento a partir do repouso com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Esta polia é conectada a uma roda B, de raio 0,40 m, por uma correia que gira sem escorregamento. Determine os módulos da velocidade e da aceleração de um ponto P na periferia da roda B após duas rotações.

Dados do problema:

  • Raio da polia A: ra = 0,15 m;
  • Aceleração da polia A: αa = 2 rad/s2;
  • Raio da polia B: rb = 0,40 m;
  • Deslocamento angular do ponto B: φb = 2 rotações
  • Velocidade inicial da polia A: v0a = 0;
  • Velocidade angular inicial da polia A: ω0a = 0;
  • Velocidade inicial da roda B: v0b = 0;
  • Velocidade angular inicial da roda B: ω0b = 0.

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter o deslocamento do ponto B dado em rotações para radianos (rad)

\[ \begin{gather} \varphi_b=2\;\cancel{\text{rotações}}\times\frac{2\pi\;\mathrm{rad}}{1\;\cancel{\text{rotação}}}=4\pi\;\mathrm{rad} \end{gather} \]

O problema nos diz que na correia de ligação entre as polias não há escorregamento, assim as polias giram solidárias (giram juntas) e o módulo do deslocamento é o mesmo para todos os pontos da correia e também para os pontos periféricos da polia e da roda. O deslocamento de um ponto em movimento circular é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=\varphi r} \tag{I} \end{gather} \]
Onde Sa é o deslocamento de um ponto da polia A (de 1 para 2, Figura 1), será igual a Sb, o deslocamento de um ponto da roda B, usando a equação (I) podemos escrever a condição de igualdade
\[ \begin{gather} S_a=S_b \\[5pt] \varphi_ar_a=\varphi_br_b \\[5pt] \varphi_a=\frac{\varphi_br_b}{r_a} \end{gather} \]
Figura 1

substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14 encontramos o deslocamento angular de um ponto da polia A

\[ \begin{gather} \varphi_a=\frac{4\times 3,14\times 0,40}{0,15} \\[5pt] \varphi_a=33,5\;\mathrm{rad} \end{gather} \]

Como a polia e a roda iniciam seus movimentos com aceleração angular constante elas estão em Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.), usando a Equação de Torricelli para movimento circular

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega^2=\omega_{0}^2+2\alpha \Delta \varphi} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \omega_a^2=\omega_{0a}^2+2\alpha_a\Delta\varphi_a \\[5pt] \omega_a^2=\omega_{0a}^2+2\alpha_a(\varphi_a-\varphi_{0a}) \\[5pt] \omega_a^2=0+2\times 2(33,5-0) \\[5pt] \omega_a=\sqrt{134\;} \\[5pt] \omega_a=11,6\;\mathrm{rad/s} \end{gather} \]

Como a polia e a roda giram solidárias elas têm o mesmo deslocamento com a mesma velocidade, em módulo dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{II} \end{gather} \]

Aplicando a condição de igualdade para a velocidade, obtemos a velocidade de um ponto P da roda

\[ \begin{gather} v_a=v_b \\[5pt] v_b=v_a=\omega_ar_a \\[5pt] v_b=\omega_ar_a \\[5pt] v_b=11,6\times 0,15 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=1,74\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

O módulo da aceleração tangencial é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{t}=\alpha r} \tag{III} \end{gather} \]

Aplicando a condição de igualdade para a aceleração, obtemos a aceleração de um ponto P da roda (Figura 2)

\[ \begin{gather} a_{ta}=a_{tb} \\[5pt] a_{tb}=a_{ta}=\alpha_ar_a \\[5pt] a_{tb}=\alpha_ar_a \\[5pt] a_{tb}=2\times 0,15 \\[5pt] a_{tb}=0,30\;\mathrm{m/s}^2 \end{gather} \]

Figura 2

A aceleração normal (centrípeta) para a roda B é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} a_{nb}=\frac{v_b^2}{r_b} \\[5pt] a_{nb}=\frac{1,74^2}{0,40} \\[5pt] a_{nb}=7,6\;\mathrm{m/s}^2 \end{gather} \]

A aceleração total será a soma vetorial das componentes tangencial e normal acima

\[ \begin{gather} {\vec a}_b={\vec a}_{tb}+{\vec a}_{nb} \end{gather} \]

usando o Teorema de Pitágoras o módulo da aceleração total será

\[ \begin{gather} a_b^2=a_{tb}^2+a_{nb}^2 \\[5pt] a_b^2=0,30^2+7,6^2 \\[5pt] a_b^2=0,09+57,8 \\[5pt] a_b=\sqrt{57,9\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_b\approx 7,6\;\mathrm{m/s}^2} \end{gather} \]
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