De um ponto de uma circunferência, de raio 2 m, partem simultaneamente dois móveis que percorrem esta
circunferência no mesmo sentido com velocidades que estão entre si na razão de 2/5. Sabendo-se que os
móveis se encontram a cada 10 s determinar suas acelerações centrípetas.
Dados do problema:
- Raio da circunferência (trajetória): R = 2 m;
-
Razão das velocidades dos móveis:
\( \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{2}{5} \);
- Intervalo de tempo entre os encontros: Δt = 10 s.
Esquema do problema:
Adota-se como origem do espaço o ponto de onde partem os móveis, assim suas posições iniciais serão
φ01 = φ02 = 0, e com orientação positiva no sentido contra-
relógio. As acelerações centrípetas dos móveis apontam para o centro da circunferência, elas são
responsáveis por fazer os móveis percorrem a curva, mas não alteram a velocidade escalar que é tangente
à circunferência.
Solução:
Da razão entre as velocidades dada no problema podemos escrever
\[
\begin{gather}
v_1=\frac{2}{5}v_2 \tag{I}
\end{gather}
\]
A aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{cp_1}=\frac{v_1^2}{R} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{cp_2}=\frac{v_2^2}{R} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
Como os móveis estão em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) a equação que rege este
movimento é
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\varphi=\varphi_0+\omega t}
\end{gather}
\]
escrevemos as equações deste movimento para os móveis
\[
\begin{gather}
\varphi_1=\varphi_{01}+\omega_1t \\[5pt]
\varphi_1=0+\omega_1t \\[5pt]
\varphi_1=\omega_1t \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_2=\varphi_{02}+\omega_2t \\[5pt]
\varphi_2=0+\omega_2t \\[5pt]
\varphi_2=\omega_2t \tag{III-b}
\end{gather}
\]
A velocidade escalar e a velocidade angular estão relacionadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\omega r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega=\frac{v}{r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_1=\frac{v_1}{R} \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_2=\frac{v_2}{R} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV-a) e (IV-b) nas equações (III-a) e (III-b), respectivamente
\[
\begin{gather}
\varphi_1=\frac{v_1}{R}t \tag{V-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\varphi_2=\frac{v_2}{R}t \tag{V-b}
\end{gather}
\]
Para o primeiro encontro dos móveis devemos ter a condição
\[
\begin{gather}
\varphi_2-\varphi_1=2\pi
\end{gather}
\]
substituindo as equações de (V) nesta condição
\[
\begin{gather}
\frac{v_2}{R}t-\frac{v_1}{R}t=2\pi
\end{gather}
\]
substituindo o intervalo de tempo para o primeiro encontro e o raio da circunferência, dado no problema, e
a equação (I)
\[
\begin{gather}
\frac{v_2}{2}\times 10-\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{5}v_2\right)\times 10=2\pi \\[5pt]
5v_2-2v_2=2\pi \\[5pt]
3v_2=2\pi \\[5pt]
v_2=\frac{2}{3}\pi\;\mathrm{m/s} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de (VI) na equação (II-b) para a aceleração centrípeta do móvel 2, temos um dos
resultados
\[
\begin{gather}
a_{cp_2}=\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{3}\pi\right)^2 \\[5pt]
a_{cp_2}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp_2}=\frac{2}{9}\pi^2\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (I) na equação (II) para a aceleração centrípeta do móvel 1 e o valor do raio da
trajetória
\[
\begin{gather}
a_{cp_1}=\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{5}v_2\right)^2 \\[5pt]
a_{cp_1}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{25}v_2^2 \\[5pt]
a_{cp_1}=\frac{2}{25}v_2^2
\end{gather}
\]
substituindo a velocidade do móvel 2 encontrada acima, temos o outro resultado
\[
\begin{gather}
a_{cp_1}=\frac{2}{25}\times\left(\frac{2}{3}\pi\right)^2 \\[5pt]
a_{cp_1}=\frac{2}{25}\times\frac{4}{9}\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{cp_1}=\frac{8}{225}\pi^2\;\mathrm{m/s}^2}
\end{gather}
\]
