Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Um cilindro, com 1 m de comprimento, possui uma canaleta disposta obliquamente em relação ao eixo do cilindro, o ângulo entre o ponto de entrada da canaleta e a saída é de 30º. Partículas com diferentes velocidades constantes são lançadas por um lado do cilindro, sabendo que o cilindro gira em torno do seu eixo principal com frequência de 1200 rpm, qual deve ser a velocidade de uma partícula para que consiga atravessar toda a extensão do cilindro sem tocar nas paredes da canaleta?

Dados do problema:

  • Comprimento do cilindro: ΔS = 1 m;
  • Diferença angular entre os pontos de entrada e saída da canaleta: Δφ = 30°;
  • Frequência de rotação do cilindro: f = 1200 rpm.

Esquema do problema:

Enquanto a partícula atravessa a canaleta do cilindro em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) o cilindro gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.).

Figura 1

Para o movimento retilíneo adota-se um sistema de referência com origem no ponto de entrada da partícula orientado no sentido do movimento da partícula. Para o movimento circular adota-se um sistema de referência com origem onde o orifício de saída estava no começo do movimento orientado no sentido de rotação do cilindro (Figura 1).

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a frequência, dada em rotações por minuto (rpm) para hertz (Hz), usada no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} f=1200\;\frac{\text{rotações}}{\text{minuto}}=1200\frac{\text{rotaçõoes}}{1\;\cancel{\text{minuto}}}\times\frac{1\;\cancel{\text{minuto}}}{60\;\text{segundos}}=20\;\frac{\text{rotaçõoes}}{\text{segundo}}=20\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]

A frequência angular (ω) do cilindro é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=2\pi f} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \omega=2\pi\times 20 \\[5pt] \omega=40\pi\;\mathrm{rad/s} \end{gather} \]

A equação do movimento retilíneo da partícula é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1=0+vt \\[5pt] t=\frac{1}{v} \tag{I} \end{gather} \]

O ângulo de deslocamento do cilindro, medido em radianos, será \( \varphi=30°=\dfrac{\pi}{6}\;\mathrm{rad} \). .
A equação do movimento circular do cilindro é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\varphi=\varphi_0+\omega t} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\pi}{6}=0+40\pi t \\[5pt] \frac{1}{6}=40t \\[5pt] t=\frac{1}{240}\;\mathrm s \tag{II} \end{gather} \]

O tempo que a partícula leva para atravessar o cilindro é o mesmo tempo que o cilindro leva para girar de 30°, igualando as equações (I) e (II)

\[ \begin{gather} \frac{1}{v}=\frac{1}{240} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=240\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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