Uma serra elétrica gira a 1440 rpm no momento em que é desligada, sua velocidade angular diminui
uniformemente, sendo que 10 s após sua frequência é de 240 rpm. Determinar:
a) O tempo que a serra gira até parar;
b) O número total de voltas, em rotações, que a serra dá do momento que é desligada até parar totalmente.
Dados do problema:
- Frequência inicial da serra quando desligada: f0 = 1440 rpm;
- Frequência 10 s após a serra ser desligada: f10 = 240 rpm.
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter os valores das frequências dadas em rotações por minuto (rpm) para
Hertz (Hz) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{gather}
f_0=1440\;\mathrm{\cancel{rpm}}\times\frac{1\;\mathrm{Hz}}{60\;\mathrm{\cancel{rpm}}}=24\;\mathrm{Hz} \\[5pt]
f_{10}=240\;\mathrm{\cancel{rpm}}\times\frac{1\;\mathrm{Hz}}{60\;\mathrm{\cancel{rpm}}}=4\;\mathrm{Hz}
\end{gather}
\]
a) A velocidade angular em função da frequência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=2\pi f}
\end{gather}
\]
aplicando esta equação para as duas frequências
\[
\begin{gather}
\omega_0=2\pi f_0 \\[5pt]
\omega_0=2\pi\times 24 \\[5pt]
\omega_0=48\pi\;\mathrm{rad/s}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{10}=2\pi f_{10} \\[5pt]
\omega_{10}=2\pi\times 4 \\[5pt]
\omega_{10}=8\pi\;\mathrm{rad/s}
\end{gather}
\]
A velocidade do Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.) é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=\omega_0+\alpha t} \tag{I}
\end{gather}
\]
aplicando os valores de ω, encontrados acima, para os instantes, t = 0 e para
t = 10 s, obtemos o valor da aceleração
\[
\begin{gather}
\omega_{10}=\omega_0+\alpha t \\[5pt]
8\pi =48\pi+\alpha10 \\[5pt]
10\alpha=8\pi-48\pi \\[5pt]
10\alpha=-40\pi \\[5pt]
\alpha=\frac{-40\pi}{10} \\[5pt]
\alpha=-4\pi \;\mathrm{rad/s^{2}}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que a serra está desacelerando, usando este valor podemos calcular o tempo que a
serra leva para parar, até que a velocidade final seja zero (ω = 0), usando novamente a
equação (I)
\[
\begin{gather}
0=48\pi-4\pi t \\[5pt]
4\pi t=48\pi \\[5pt]
t=\frac{48\cancel{\pi}}{4\cancel{\pi}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=12\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) O espaço percorrido no Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.) e dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac{\alpha}{2}t^2}
\end{gather}
\]
adotamos que no instante em que a serra é desligada o ângulo inicial é nulo,
θ0 = 0, usando os valores de ω0 e α acima e o
tempo que a serra leva para parar, t = 12 s
\[
\begin{gather}
\theta=0+48\pi\times 12-\frac{4\pi}{2}12^2 \\[5pt]
\theta=576\pi-2\pi\times 144 \\[5pt]
\theta=576\pi-288\pi \\[5pt]
\theta=288\pi\;\mathrm{rad}
\end{gather}
\]
Para converter o número n de voltas de radianos para rotações usamos uma regra de três simples
\[
\begin{gather}
\frac{1\;\text{rotação}}{2\pi
}=\frac{n\;\text{rotações}}{288\pi} \\[5pt]
n=\frac{288\cancel{\pi}}{2\cancel{\pi}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{n=144\;\text{rotações}}
\end{gather}
\]
