Exercício Resolvido de Movimento Circular
publicidade

Dois móveis percorrem uma circunferência de raio R no mesmo sentido e com movimentos uniformes. Sabendo-se que partem simultaneamente de um mesmo ponto com velocidades escalares v1 e v2, determine depois de quanto tempo se encontram pela primeira vez.

Dados do problema:

  • Raio da circunferência (trajetória): R;
  • Velocidade do móvel 1: v1;
  • Velocidade do móvel 2: v2.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Os móveis estão em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), suas velocidades escalares v são constantes, como a trajetória circular tem raio constante, então suas velocidades angulares ω também são constantes.
A equação deste movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\varphi =\varphi _{0}+\omega t} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \varphi_{1}=\varphi_{01}+\omega_{1}t \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \varphi_{1}=\varphi_{01}+\omega_{1}t \end{gather} \]

Adotando-se o ponto de partida dos móveis como sendo a origem dos espaços, temos que os espaços angulares iniciais são iguais a zero (φ01 = φ02 = 0), assim a equações acima se reduzem a

\[ \begin{gather} \varphi_{1}=\omega_{1}t \tag{I-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \varphi_{2}=\omega_{2}t \tag{I-b} \end{gather} \]

A velocidade escalar é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \end{gather} \]

Usando esta equação as velocidades angulares (ω1 e ω2) podem ser escritas em função das velocidades escalares, v1 e v2, e do raio (R) da circunferência

\[ \begin{gather} v_{1}=\omega_{1}R\\ \omega_{1}=\frac{v_{1}}{R} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{2}=\omega _{2}R\\ \omega_{2}=\frac{v_{2}}{R} \tag{II-b} \end{gather} \]

substituindo a equação (II-a) na equação (I-a), e a equação (II-b) na equação (I-b)

\[ \begin{gather} \varphi_{1}=\frac{v_{1}}{R}t \tag{III-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \varphi_{2}=\frac{v_{2}}{R}t \tag{III-b} \end{gather} \]

Como queremos encontrar o instante do encontro dos móveis devemos impor a condição de que nesse instante os seus espaços angulares serão iguais

\[ \begin{gather} \varphi_{1}=\varphi_{2} \end{gather} \]

Supondo a velocidade do móvel 2 maior que a do móvel 1 quando eles se encontrarem o móvel 2 já terá percorrido uma volta, 2π radianos a mais

\[ \begin{gather} \varphi_{2}=\varphi_{1}+2\pi \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo as equaçõess (III-a) e (III-b) na equação (IV)

\[ \begin{gather} \frac{v_{2}}{R}t=\frac{v_{1}}{R}t+2\pi\\ \frac{v_{2}}{R}t-\frac{v_{1}}{R}t=2\pi\\ (v_{2}-v_{1})\frac{t}{R}=2\pi \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=\frac{2\pi R}{v_{2}-v_{1}}} \end{gather} \]
publicidade