Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Os elementos de um integrador mecânico roda-disco são mostrados na figura. A roda A gira em torno
de seu eixo fixo e, move-se por atrito, no ponto de contato com o disco B sem escorregamento. A
distância y é variável e pode ser controlada pela posição da roda A no disco. O raio da
roda A é a e o raio do disco B é b (0 < y < b). Se a
rotação de B é ωb (velocidade angular constante) mostre que a
velocidade angular de A é variável em função da distância y segundo a relação:
\[
\begin{gather}
\omega_a=ky
\end{gather}
\]
onde \( k=\dfrac{\omega_b}{a}=\text{constante} \).
Dados do problema:
- Raio da roda A: Ra = a;
- Raio da roda B: Rb = b;
- Distância da roda A ao centro de B: Ry = y;
- Velocidade angular da roda B: ωB.
Solução:
O problema no diz que as duas rodas giram sem escorregamento isto significa que elas possuem a mesma
velocidade escalar no ponto de contato (Figura 1).
A velocidade escalar de um ponto da roda é dada por
A velocidade escalar de um ponto da roda é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_a=\omega_a R_a
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_b=\omega_bR_y
\end{gather}
\]
Para a roda B o raio usado foi Ry e não b, o raio da roda, pois y é
a distância do centro da roda B até o ponto de contato entre as duas rodas.
Com a condição de que no ponto de contato as duas rodas possuem velocidades escalares iguais
\[
\begin{gather}
v_a=v_b \\[5pt]
\omega_a R_a=\omega_b R_y \\[5pt]
\omega_a a=\omega_b y \\[5pt]
\omega_a=\frac{\omega_b}{a}y
\end{gather}
\]
definindo \( k\equiv\dfrac{\omega_b}{a} \), este valor é constante pois o problema nos diz que a velocidade angular da roda B é constante e o raio da roda A também é constante
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_a=ky}
\end{gather}
\]
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