Duas polias ligadas por uma correia têm raios r1 = 10 cm e
r2 = 20 cm. A primeira efetua 40 rpm. Admitindo-se que a correia de ligação é não
elástica e não há escorregamento, Determinar:
a) Qual a relação entre os módulos das velocidades escalares de um ponto na superfície da primeira polia
P1 e um ponto na superfície da segunda polia P2?
b) Qual a relação entre as frequências das polias?
c) Qual é o número de rotações da segunda polia?
d) Qual é a velocidade angular de cada uma das polias?
Dados do problema:
- Raio da polia P1: r1 = 10 cm;
- Frequência da polia P1: f1 = 40 rpm;
- Raio da polia P2: r2 = 20 cm.
Solução:
a) O problema nos diz que a correia de ligação entre as polias é não elástica e não há escorregamento,
assim as polias giram solidárias (giram juntas) e a velocidade é a mesma para todos os pontos da correia
e também para os pontos periféricos das polias. Assim sendo v1 o módulo da velocidade
da primeira polia, v2 o módulo da velocidade da segunda polia e sendo
v1=v2, a relação entre os módulos das velocidades será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{v_1}{v_2}=1}
\end{gather}
\]
b) A velocidade escalar em função da velocidade angular e do raio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
as velocidades dos pontos P1 e P2 serão dadas respectivamente por
\[
\begin{gather}
v_1=\omega_1R_1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=\omega_2R_2
\end{gather}
\]
como do item (a) vimos que v1 = v2
\[
\begin{gather}
\omega_1R_1=\omega_2R_2
\end{gather}
\]
a velocidade angular ω é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=2\pi f}
\end{gather}
\]
substituindo podemos reescrever
\[
\begin{gather}
\cancel{2\pi}f_1R_1=\cancel{2\pi}f_2R_2 \\[5pt]
f_1R_1=f_2R_2 \\[5pt]
\frac{f_1}{f_2}=\frac{R_2}{R_1}
\end{gather}
\]
substituindo pelos valores dos raios fornecidos
\[
\begin{gather}
\frac{f_1}{f_2}=\frac{20}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{f_1}{f_2}=2}
\end{gather}
\]
c) Utilizando o valor de f1 dado e a equação anterior
\[
\begin{gather}
\frac{40}{f_2}=2 \\[5pt]
f_2=\frac{40}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{f_2=20\;\mathrm{rpm}}
\end{gather}
\]
d) Para o cálculo das velocidades angulares das polias temos que converter as unidades de frequência dadas
em rotações por minuto (rpm) para Hertz (Hz) usada no Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[
\begin{gather}
f_1=40\;\frac{\text{rotações}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=\frac{2}{3}\;\mathrm{Hz} \\[5pt]
f_2=20\;\frac{\text{rotações}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=\frac{1}{3}\;\mathrm{Hz}
\end{gather}
\]
usando a fórmula acima para a velocidade angular, para a polia 1 será
\[
\begin{gather}
\omega_1=2\pi f_1 \\[5pt]
\omega_1=2\pi\times\frac{2}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_1=\frac{4}{3}\pi \;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
a velocidade angular da polia 2 será
\[
\begin{gather}
\omega_2=2\pi f_2 \\[5pt]
\omega_2=2\pi\times\frac{1}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_2=\frac{2}{3}\pi \;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
EN
