Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
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Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabe-se que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m1, m2 e m3, respectivamente.

Dados do problema:

  • Comprimento da plataforma: L;
  • Massa da plataforma: m1;
  • Massa do adulto: m2;
  • Velocidade do adulto: v2;
  • Massa da criança: m3;
  • Velocidade da criança: v3.

Esquema do problema:

Como o sistema homem-criança-plataforma é isolado de forças externas, então é válido o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.
Adotando-se um referencial na plataforma (R') o homem anda o comprimento L da plataforma e como a velocidade da criança é a metade da velocidade do homem, ela anda metade do comprimento da plataforma \( \left(\frac{L}{2}\right) \).
Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade do homem. Quando este anda para frente, pela conservação da quantidade de movimento, a plataforma se desloca para trás. A plataforma se desloca de uma distância D a determinar, então, em relação ao referencial na água o homem anda a distância de L−D. Como a velocidade do homem é maior ele “arrasta” para trás a plataforma com a criança. Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade da criança, quando esta anda para frente ela se desloca junto com a plataforma. A plataforma se desloca de uma distância D e a criança se desloca \( \frac{L}{2} \), então, em relação ao referencial na água a criança se desloca \( \frac{L}{2}+D \).
Figura 1

Solução:

A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=m v} \end{gather} \]

A quantidade de movimento do homem \( Q_h \) deve ser igual à soma das quantidades de movimento da plataforma e da criança \( \left(Q_p+Q_c\right) \)

\[ \begin{gather} Q_h=Q_p+Q_c \\[5pt] m_2v_2=m_1v_1+m_3v_3 \end{gather} \]

as velocidades da plataforma, do homem e da criança serão, respectivamente, \( v_1=\frac{\Delta S_p}{\Delta t} \), \( v_2=\frac{\Delta S_h}{\Delta t} \) e \( v_3=\frac{\Delta S_c}{\Delta t} \)

\[ \begin{gather} m_2\frac{\Delta S_h}{\cancel{\Delta t}}=m_1\frac{\Delta S_p}{\cancel{\Delta t}}+m_3\frac{\Delta S_c}{\cancel{\Delta t}} \\[5pt] m_2\Delta S_h=m_1\Delta S_p+m_3\Delta S_c \end{gather} \]

com relação ao referencial na água o deslocamento do homem será \( \Delta S_h=L-D \) (Figura 1), o deslocamento da plataforma será \( \Delta S_p=D \) e o deslocamento da criança será \( \Delta S_c=\dfrac{L}{2}+D \), substituindo estes valores na equação

\[ \begin{gather} m_2(L-D)=m_1D+m_3\left(\frac{L}{2}+D\right) \\[5pt] m_2L-m_2D=m_1D+m_3\frac{L}{2}+m_3D \\[5pt] m_2L-m_3\frac{L}{2}=m_1D+m_3D+m_2D \end{gather} \]

do lado esquerdo da igualdade multiplicamos e dividimos o primeiro termo por 2 e do lado direito da igualdade colocamos D em evidência

\[ \begin{gather} m_2L\frac{2}{2}-m_3\frac{L}{2}=D(m_1+m_3+m_2) \\[5pt] D(m_1+m_3+m_2)=2m_2\frac{L}{2}-m_3\frac{L}{2} \end{gather} \]

colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} D(m_1+m_3+m_2)=\frac{L}{2}(2m_2-m_3) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{2m_2-m_3}{m_1+m_3+m_2}\frac{L}{2}} \end{gather} \]
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