Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
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Dois barcos navegam paralelamente ao encontro um do outro com velocidades iguais. Quando os barcos se cruzam, lança-se uma carga de um barco para o outro, e em seguida uma outra carga igual é lançada do segundo barco para o primeiro. Em outro caso as cargas são lançadas simultaneamente. Em qual caso a velocidade dos barcos, depois do lançamento das cargas, será maior?

Dados do problema:

  • Massa dos barcos: M;
  • Massa das cargas: m;
  • Velocidade inicial dos barcos: v0.

Solução:

  • Caso em que uma das cargas é lançada após a outra
Adotamos um sistema de referência com o eixo orientado para a direita no sentido de deslocamento do barco (a), Figura 1.
Na situação inicial para o barco (a) sua massa é a soma das massas do barco e da carga (M+m) e navega com velocidade v0. A carga do barco (b) possui massa m e se desloca com a velocidade do barco (−v0), assim quando esta massa é lançada para o barco (a) ela transfere para este uma quantidade de movimento −mv0 (Figura 1-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+2m) e velocidade v1 (Figura 1-B).
Na situação inicial para o barco (b) sua massa é M, sua carga já foi lançada para o barco (a), e navega com velocidade −v0, a carga do barco (a) possui massa m e se desloca com a mesma velocidade do barco (v1), assim quando esta massa é lançada para o barco (b) ela transfere para este uma quantidade de movimento mv1 (Figura 1-C).
Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v2 (Figura 1-D).
Figura 1

A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \end{gather} \]

Usando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos

  • Barco (a)
\[ \begin{gather} {Q_{a_i}}={Q_{a_f}} \\[5pt] (M+m)v_0-mv_0=(M+2m)v_1 \tag{I} \end{gather} \]
  • Barco (b)
\[ \begin{gather} {Q_{b_i}}={Q_{b_f}} \\[5pt] -Mv_0+mv_1=(M+m)v_2 \tag{II} \end{gather} \]

As equações (I) e (II) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (v1 e v2)

\[ \left\{ \begin{array}{l} (M+m)v_0-mv_0=(M+2m)v_1 \\[5pt] -Mv_0+mv_1=(M+m)v_2 \end{array} \right. \]

da primeira equação

\[ \begin{gather} Mv_0+mv_0-mv_0=(M+2m)v_1 \\[5pt] Mv_0=(M+2m)v_1 \\[5pt] v_1=\frac{M}{M+2m}v_0 \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na segunda equação do sistema

\[ \begin{gather} -Mv_0+m\frac{M}{M+2m}v_0=(M+m)v_2 \end{gather} \]

multiplicando ambos os lados da igualdade por (M+2m)

\[ \begin{gather} -(M+2m)Mv_0+\cancel{(M+2m)}m\frac{M}{\cancel{M+2m}}v_0=(M+2m)(M+m)v_2 \\[5pt] -M^2v_0-2Mmv_0+Mmv_0=(M+2m)(M+m)v_2 \\[5pt] -M^2v_0-Mmv_0=(M+2m)(M+m)v_2 \\[5pt] -Mv_0\cancel{(M+m)}=(M+2m)\cancel{(M+m)}v_2 \\[5pt] -Mv_0=(M+2m)v_2 \\[5pt] v_2=-\frac{{M}}{M+2m}v_0 \tag{IV} \end{gather} \]

Com as equações (III) e (IV) podemos escrever

\[ \begin{gather} v_1=-v_2=\frac{M}{M+2m}v_0 \tag{V} \end{gather} \]
  • Caso em que as cargas são lançadas simultaneamente
Adotamos o mesmo sistema de referência da situação anterior (Figura 2).
Na situação inicial para o barco (a), sua carga já foi lançada e ela transfere uma quantidade de movimento mv0 para o barco (b), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade v0. Simultaneamente o barco (b) lança sua carga e ela transfere uma quantidade de movimento −mv0 para o barco (a), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade −v0 (Figura 2-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+m) e velocidade v3. Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v4 (Figura 2-B).
Figura 2

Usando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos

  • Barco (a)
\[ \begin{gather} {Q_{a_i}}={Q_{a_f}} \\[5pt] Mv_0-mv_0=(M+m)v_3 \tag{VI} \end{gather} \]
  • Barco (b)
\[ \begin{gather} {Q_{b_i}}={Q_{b_f}} \\[5pt] -Mv_0+mv_0=(M+m)v_4 \tag{VII} \end{gather} \]
da equação (VI)
\[ \begin{gather} (M-m)v_0=(M+m)v_3 \\[5pt] v_3=\frac{M-m}{M+m}v_0 \tag{VIII} \end{gather} \]

da equação (VII)

\[ \begin{gather} -(M-m)v_0=(M+m)v_4 \\[5pt] v_4=\frac{-{M-m}}{M+m}v_0 \tag{IX} \end{gather} \]

Com as equações (VIII) e (IX) podemos escrever

\[ \begin{gather} v_3=-v_4=\frac{M-m}{M+m}v_0 \tag{X} \end{gather} \]

Para encontrarmos a maior velocidade devemos comparar as equações (V) e (X).
Para colocar as equações no mesmo denominador multiplicamos o numerador e o denominador da equação (V) por (M+m), e, o numerador e o denominador, da equação (X) por (M+2m).

\[ \begin{gather} v_1=\dfrac{(M+m)}{(M+m)}\dfrac{M}{(M+2m)}v_0 \\[5pt] v_1=\dfrac{M^2+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_3=\dfrac{(M+2m)}{(M+2m)}\dfrac{(M-m)}{(M+m)}v_0 \\[5pt] v_3=\dfrac{M^2+Mm-2m^2}{(M+m)(M+2m)}v_0 \\[5pt] v_3=\dfrac{M^2+Mm-2m^2}{(M+m)(M+2m)}v_0 \end{gather} \]

As duas equações acima estão sobre o mesmo denominador, na primeira equação o numerador é \( M^2+Mn \) e na segunda equação o numerador é este valor subtraído do valor \( 2m^2 \), portanto, a segunda fração representa um valor menor

\[ \begin{gather} v_1=\frac{M^2+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_0>\frac{M^2+Mm-2m^2}{(M+m)(M+2m)}v_0=v_3 \\[5pt] v_1>v_3 \end{gather} \]

A velocidade no primeiro caso é maior.

Observação: Quando o tripulante do barco age sobre a carga lançando esta com uma força \( \vec F \), perpendicular à trajetória do barco, ele reage sobre o barco com uma força \( -\vec F \), isto causaria um deslocamento lateral do barco. Para evitar este movimento assumimos que a massa da carga é pequena de modo que a força \( \vec F \) é tal que possa ser equilibrada pela força de resistência da água \( {\vec F}_r \) agindo na lateral do barco (Figura 3).

Figura 3
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