Um corpo de massa m cai de uma altura H a partir do repouso, um outro corpo, de massa
desconhecida, também cai a partir do repouso, de uma altura h. Calcule a massa do corpo desconhecido
de modo que ambos atinjam o solo com o mesmo impulso.
Dados do problema:
- Massa do corpo A: m;
- Altura de queda do corpo A: H;
- Velocidade inicial do corpo A: v0a = 0;
- Altura de queda do corpo B: h;
- Velocidade inicial do corpo B: v0b = 0.
Esquema do problema:
Adotamos M > m e H > h, ambas as alturas são medidas a partir do solo,
adotado como Nível de Referência (N.R.), Figura 1.
Solução:
Usando o Teorema do Impulso
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{I=\Delta Q=Q_f-Q_i} \tag{I}
\end{gather}
\]
A quantidade de movimento Q é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mv} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
I=mv_f-mv_i \tag{III}
\end{gather}
\]
A velocidade final pode ser encontrada usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a
energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é liberado deve ser igual à energia mecânica final,
no solo
\[
\begin{gather}
E_{M_i}=E_{M_f} \\[5pt]
E_{p_i}+E_{c_i}=E_{p_f}+E_{c_f}
\end{gather}
\]
A Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_p=mgh}
\end{gather}
\]
a Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\cancel mgh_i+\frac{\cancel mv_i^2}{2}=\cancel mgh_f+\frac{\cancel mv_f^2}{2} \\[5pt]
gh_i+\frac{v_i^2}{2}=gh_f+\frac{v_f^2}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para o corpo de massa m, temos sua altura inicial igual a H
(hi = H), a velocidade inicial é nula
(vi = v0a = 0), como o corpo chega ao solo, que é o
Nível de Referência, sua altura final é nula (hf = 0), então sua
velocidade final (vf = va) será
\[
\begin{gather}
gH+\frac{0^2}{2}=g\times 0+\frac{v_a^2}{2} \\[5pt]
gH=\frac{v_a^2}{2} \\[5pt]
v_a^2=2gH \\[5pt]
v_a=\sqrt{2gH\;} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) e a velocidade inicial na equação (III) o impulso do corpo A,
IA, ao chegar no solo será
\[
\begin{gather}
I_a=mv_a-mv_{0A} \\[5pt]
I_a=m\sqrt{2gH\;}-m\times 0 \\[5pt]
I_a=m\sqrt{2gH\;} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Para o corpo de massa desconhecida M, temos sua altura inicial igual a h
(hi = h), a velocidade inicial é nula
(vi = v0b = 0), como o corpo chega ao solo, que é o
Nível de Referência, sua altura final é nula (hf = 0), então sua velocidade final
(vf = vb) será pela equação (IV)
\[
\begin{gather}
gh+\frac{0^2}{2}=g\times 0+\frac{v_b^2}{2} \\[5pt]
gh=\frac{v_b^2}{2} \\[5pt]
v_b^2=2gh \\[5pt]
v_b=\sqrt{2gh\;} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) e a velocidade inicial na equação (III) o impulso do corpo B,
Ib, ao chegar no solo será
\[
\begin{gather}
I_b=Mv_b-Mv_{0B} \\[5pt]
I_b=M\sqrt{2gh\;}-M\times 0 \\[5pt]
I_b=M\sqrt{2gh\;} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Igualando as equações (VI) e (VIII)
\[
\begin{gather}
I_a=I_b \\[5pt]
m\sqrt{2gH\;}=M\sqrt{2gh\;}
\end{gather}
\]
Usando a propriedade da radiciação
\( \sqrt{a b\;}=\sqrt{a\;} \sqrt{b\;} \)
podemos reescrever as raízes da equação nas seguintes formas
\( \sqrt{2gH\;}=\sqrt{2g\;} \sqrt{H\;} \)
e
\( \sqrt{2gh\;}=\sqrt{2g\;} \sqrt{h\;} \)
\[
\begin{gather}
m\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{H\;}=M\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{h\;} \\[5pt]
m\sqrt{H\;}=M\sqrt{h\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{M=m\frac{\sqrt{H\;}}{\sqrt{h\;}}}
\end{gather}
\]
Observação: Vamos supor que
m = 1 kg,
H = 80 m e
h = 0,2 m, então
M vale
\[
\begin{gather}
M=1\times\sqrt{\frac{80\;}{0,2\;}} \\[5pt]
M=\sqrt{400\;} \\[5pt]
M=20\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
isto quer dizer que um tijolo de 1 quilograma caindo de um prédio de 80 metros de altura faz o mesmo
“estrago“ que uma pedra de 20 quilogramas caindo de uma altura de 20 centímetros.
EN
