Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento

Exercício Resolvido de Impulso

Um corpo de massa m cai de uma altura H a partir do repouso, um outro corpo, de massa desconhecida, também cai a partir do repouso, de uma altura h. Calcule a massa do corpo desconhecido de modo que ambos atinjam o solo com o mesmo impulso.

Dados do problema:

Massa do corpo A: m;
Altura de queda do corpo A: H;
Velocidade inicial do corpo A: v_0A = 0;
Altura de queda do corpo B: h;
Velocidade inicial do corpo B: v_0B = 0.

Esquema do problema:

Adotamos M > m e H > h, ambas as alturas são medidas a partir do solo, adotado como Nível de Referência (N.R.), Figura 1.

Figura 1

Solução

Usando o Teorema do Impulso

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\Delta Q=Q_{f}-Q_{i}} \tag{I} \end{gather} \]

A quantidade de movimento Q é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) na expressão (I)

\[ \begin{gather} I=mv_{f}-mv_{i} \tag{III} \end{gather} \]

A velocidade final pode ser encontrada usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é liberado deve ser igual à energia mecânica final, no solo

\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\[5pt] E_{p}^{i}+E_{c}^{i}=E_{p}^{f}+E_{c}^{f} \end{gather} \]

A Energia Potencial é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{p}=mgh} \end{gather} \]

a Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{c}=\frac{mv^{2}}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \cancel{m}gh_{i}+\frac{\cancel{m}v_{i}^{2}}{2}=\cancel{m}gh_{f}+\frac{\cancel{m}v_{f}^{2}}{2}\\[5pt] gh_{i}+\frac{v_{i}^{2}}{2}=gh_{f}+\frac{v_{f}^{2}}{2} \tag{IV} \end{gather} \]

Para o corpo de massa m, temos sua altura inicial igual a H (h_i = H), a velocidade inicial é nula (v_i = v_0A = 0), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de Referência, sua altura final é nula (h_f = 0), então sua velocidade final (v_f = v_A) será

\[ \begin{gather} gH+\frac{0^{2}}{2}=g.0+\frac{v_{A}^{2}}{2}\\[5pt] gH=\frac{v_{A}^{2}}{2}\\[5pt] v_{A}^{2}=2gH\\[5pt] v_{A}=\sqrt{2gH\;} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a expressão (V) e a velocidade inicial na expressão (III) o impulso do corpo A, I_A, ao chegar no solo será

\[ \begin{gather} I_{A}=mv_{A}-mv_{0A}\\[5pt] I_{A}=m\sqrt{2gH\;}-m.0\\[5pt] I_{A}=m\sqrt{2gH\;} \tag{VI} \end{gather} \]

Para o corpo de massa desconhecida M, temos sua altura inicial igual a h (h_i = h), a velocidade inicial é nula (v_i = v_0B = 0), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de Referência, sua altura final é nula (h_f = 0), então sua velocidade final (v_f = v_B) será pela expressão (IV)

\[ \begin{gather} gh+\frac{0^{2}}{2}=g.0+\frac{v_{B}^{2}}{2}\\[5pt] gh=\frac{v_{B}^{2}}{2}\\[5pt] v_{B}^{2}=2gh\\[5pt] v_{B}=\sqrt{2gh\;} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a expressão (VII) e a velocidade inicial na expressão (III) o impulso do corpo B, I_B, ao chegar no solo será

\[ \begin{gather} I_{B}=Mv_{B}-Mv_{0B}\\[5pt] I_{B}=M\sqrt{2gh\;}-M.0\\[5pt] I_{B}=M\sqrt{2gh\;} \tag{VIII} \end{gather} \]

Igualando as expressões (VI) e (VIII)

\[ \begin{gather} I_{A}=I_{B}\\[5pt] m\sqrt{2gH\;}=M\sqrt{2gh\;} \end{gather} \]

Usando a propriedade da radiciação \( \sqrt{a.b\;}=\sqrt{a\;}.\sqrt{b\;} \)

podemos reescrever as raízes da expressão nas seguintes formas \( \sqrt{2gH\;}=\sqrt{2g\;}.\sqrt{H\;} \) e \( \sqrt{2gh\;}=\sqrt{2g\;}.\sqrt{h\;} \)

\[ \begin{gather} m\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{H\;}=M\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{h\;}\\[5pt] m\sqrt{H\;}=M\sqrt{h\;} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=m\frac{\sqrt{H\;}}{\sqrt{h\;}}} \end{gather} \]

Observação: Vamos supor que m = 1 kg, H = 80 m e h = 0,2 m, então M vale

\[ \begin{gather} M=1.\sqrt{\frac{80\;}{0,2\;}}\\[5pt] M=\sqrt{400\;}\\[5pt] M=20\;\text{kg} \end{gather} \]

isto quer dizer que um tijolo de 1 quilograma caindo de um prédio de 80 metros de altura faz o mesmo “estrago“ que uma pedra de 20 quilogramas caindo de uma altura de 20 centímetros.

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