Exercício Resolvido de Impulso
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Um caminhão tanque se desloca com velocidade constante de 20 m/s. Percebendo um obstáculo o motorista freia bruscamente e o veículo leva 8 s até parar. Supondo o tanque com a forma de um cilindro horizontal com 3 m de comprimento e completamente cheio de óleo com massa específica igual a 0,8 g/cm3, pede-se calcular a pressão exercida pelo óleo na parede anterior do tanque durante a freada.

Dados do problema:

  • Velocidade inicial do caminhão: vi = 20 m/s;
  • Velocidade final do caminhão: vf = 0;
  • Tempo que o caminhão leva para parar: Δt = 8 s;
  • Comprimento do tanque de óleo: L = 3 m;
  • Massa específica do óleo: μ = 0,8 g/cm3.

Esquema do problema:

Figura 1

Durante o movimento o óleo se move junto com o caminhão com a mesma velocidade. Quando o caminhão freia o óleo tem a tendência de continuar o movimento, mas como ele está limitado pelas paredes do tanque ele vai exercer uma pressão na parede da frente do tanque (Figura 1).

Solução:

Em primeiro lugar vamos converter as unidades da massa específica do óleo dado em gramas por centímetros cúbicos (g/cm3) para quilogramas por metro cúbico (kg/m3) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{align} \mu &= 0,8\;\frac{\mathrm{\cancel g}}{\mathrm{cm^3}}\times\frac{10^{-3}\;\mathrm{kg}}{1\;\mathrm{\cancel g}}\times\frac{(10^2\;\mathrm{cm})^3}{1\;\mathrm{m^3}}=\\ &= 0,8\;\frac{1}{\mathrm{\cancel{cm^3}}}\times 10^{-3}\;\mathrm{kg}\times\frac{10^6\;\mathrm{\cancel{cm^3}}}{1\;\mathrm{m^3}}=\\ &= 0,8\times 10^3\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}=800\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \end{align} \]

A pressão P que o óleo vai exercer sobre a parede anterior do tanque será dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=\frac{F_o}{A}} \tag{I} \end{gather} \]

onde Fo é a força exercida pelo óleo contra a parede do tanque durante o tempo de frenagem e A é a área da parede do tanque.
O impulso da forca de frenagem do caminhão será

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=F_{\small F}\Delta t} \tag{II} \end{gather} \]

onde FF é a força de frenagem do caminhão e Δt o tempo em que ela atua sobre o caminhão.

A força do óleo sobre a parede do tanque e a força de frenagem estão representadas na Figura 2, elas possuem mesma intensidade e direção, e sentidos opostos
\[ \begin{gather} F_o=F_{\small F} \tag{III} \end{gather} \]
Figura 2

Pelo Teorema do Impulso temos, que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\Delta Q=Q_{\small F}-Q_i} \tag{IV} \end{gather} \]

igualando as equações (II) e (IV) e usando a equação (III)

\[ \begin{gather} Q_{\small F}-Q_i=-F_o\Delta t \tag{V} \end{gather} \]

A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo a equação (VI) na equação (V)

\[ \begin{gather} mv_{\small F}-mv_i=-F_o\Delta t \\[5pt] m\times 0-mv_i=-F_o\Delta t \\[5pt] -mv_i=-F_o\Delta t \\[5pt] mv_i=F_o\Delta t \tag{VII} \end{gather} \]

Aqui a massa considerada é a de óleo que faz pressão contra a parede do tanque, a massa de óleo em função da massa específica dada no problema é calculada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mu =\frac{m}{V} \tag{VIII} \end{gather} \]
onde V é o volume do tanque de forma cilíndrica. O volume de um cilindro será a área da base multiplicada pela altura (Figura 3)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=AL} \tag{IX} \end{gather} \]
Figura 3

substituindo a equação (IX) na equação (VIII)

\[ \begin{gather} m=\mu AL \tag{X} \end{gather} \]

e substituindo a equação (X) na equação (VII)

\[ \begin{gather} F_o\Delta t=\mu ALv_i \\[5pt] \frac{F_o}{A}=\frac{\mu Lv_i}{\Delta t} \tag{XI} \end{gather} \]

Agora podemos ver que o lado esquerdo da equação (XI) é igual ao lado direito da equação (I) que nos dá a pressão desejada, então igualando estes valores

\[ \begin{gather} P=\frac{\mu Lv_i}{\Delta t} \end{gather} \]

Substituindo os valores numéricos dados no problema

\[ \begin{gather} P=\frac{800\times 3\times 20}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {P=6000\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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