Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Dois satélites artificiais, S1 e S2, gravitam em torno da Terra em órbitas circulares a distâncias, respectivamente, iguais a r1 = R e r2 = 3R de seu centro. Em um certo instante, a reta que liga os centros dos satélites é tangente à órbita de S1. Determine nesse instante a distância d entre S1 e S2.

Dados do problema:

  • Distância do satélite S1 à Terra: r1 = R;
  • Distância do satélite S2 à Terra : r2 = 3R.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Pela Figura 1 vemos que no triângulo ΔABC, o segmento \( \overline{AB} \) representa a distância do satélite S1 a Terra, o segmento \( \overline{AC} \) é a distância do satélite S2 a Terra, o segmento \( \overline{BC} \) liga os centros dos dois satélites e é tangente a órbita de S1 e perpendicular a \( \overline{AB} \), portanto o triângulo ΔABC é um triângulo retângulo e a distância entre os dois satélites d, segmento \( \overline{BC} \), será dada pelo Teorema de Pitágoras, sendo os catetos \( \overline{AB}=R \), \( \overline{BC}=d \) e a hipotenusa \( \overline{AC}=3R \)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {c^2=a^2+b^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} (3R)^2=R^2+d^2 \\[5pt] 9R^2=R^2+d^2 \\[5pt] d^2=9R^2-R^2 \\[5pt] d=\sqrt{8R^2} \\[5pt] d=\sqrt{2^3R^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d=2R\sqrt{2\;}} \end{gather} \]
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