Dois satélites artificiais,
S1 e
S2, gravitam em torno da Terra em
órbitas circulares a distâncias, respectivamente, iguais a
r1 =
R e
r2 = 3
R de seu centro. Em um certo instante, a reta que liga os centros dos
satélites é tangente à órbita de
S1. Determine nesse instante a distância d entre
S1 e
S2.
Dados do problema:
- Distância do satélite S1 à Terra: r1 = R;
- Distância do satélite S2 à Terra : r2 = 3R.
Esquema do problema:
Solução
Pela Figura 1 vemos que no triângulo Δ
ABC, o segmento
\( \overline{AB} \)
representa a distância do satélite
S1 a Terra, o segmento
\( \overline{AC} \)
é a distância do satélite
S2 a Terra, o segmento
\( \overline{BC} \)
liga os centros dos dois satélites e é tangente a órbita de
S1 e perpendicular a
\( \overline{AB} \),
portanto o triângulo Δ
ABC é um triângulo retângulo e a distância entre os dois satélites
d, segmento
\( \overline{BC} \),
será dada pelo
Teorema de Pitágoras, sendo os catetos
\( \overline{AB}=R \),
\( \overline{BC}=d \)
e a hipotenusa
\( \overline{AC}=3R \)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{c^{2}=a^{2}+b^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
(3R)^{2}=R^{2}+d^{2}\\[5pt]
9R^{2}=R^{2}+d^{2}\\[5pt]
d^{2}=9R^{2}-R^{2}\\[5pt]
d=\sqrt{8R^{2}}\\[5pt]
d=\sqrt{2^{3}R^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=2R\sqrt{2}}
\end{gather}
\]