Um foguete é lançado da Terra em direção à Lua seguindo uma trajetória retilínea que une os centros dos dois corpos. Sendo a massa da Terra M_T aproximadamente 81 vezes maior que a massa da Lua M_L, determine o ponto na trajetória em que a intensidade dos campos gravitacionais devido a Terra e a Lua se anulam. Considere o sistema Terra-Lua isolado do resto do Universo, o sistema é estacionário e com a massa total de cada corpo concentrada no seu centro.

Dados do problema:

• Massa da Terra: M_T;
• Massa da Lua: M_L;
• Relação entre as massas da Terra e da Lua: M_T = 81M_L .

Esquema do problema:

Como o problema considera as massas da Terra e da Lua concentradas nos seus centros o problema se reduz a dois pontos representando a Terra e a Lua com uma distância d entre eles e o foguete um ponto, de massa m, a uma distância x da Terra (Figura 1).

Figura 1

Vamos adotar o sentido positivo orientado da Terra para a Lua.
Entre a Terra e o foguete atua a força de atração gravitacional, \( {\vec F}_{f\small T} \), e entre a Lua e o foguete a força de atração gravitacional, \( {\vec F}_{f\small L} \).

Solução:

A força de atração gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton

Aplicando a equação (I) ao sistema Terra-foguete, sendo r = x

Aplicando novamente a equação (I) ao sistema Lua-foguete, sendo r = d−x

Para que a intensidade dos campos gravitacionais devido à Terra e à Lua se anulem devemos impor a seguinte condição

substituindo as equações (II) e (III) na equação acima

simplificando a Contante Gravitacional Universal G e a massa do foguete m dos dois lados da igualdade, e substituindo a relação entre as massas da Terra e da Lua dada no problema