Determinar a velocidade angular de rotação de um satélite em torno da Terra supondo uma órbita circular, em
função da distância ao centro da Terra.
Esquema do problema:
Vamos assumir que são conhecidas as seguintes grandezas, distância da Terra ao satélite,
RT, massa da Terra, MT, e a Constante Gravitacional Universal,
G.
Solução:
A força centrípeta para o satélite em rotação em torno da Terra (Figura 1), é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde m é a massa do satélite, a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{II}
\end{gather}
\]
a velocidade tangencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{(\omega r)^2}{r} \\[5pt]
a_{cp}=\frac{\omega^2r^{\cancel 2}}{\cancel r} \\[5pt]
a_{cp}=\omega^2r \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
F_{cp}=m\omega^2r \tag{V}
\end{gather}
\]
A única força atuando no satélite é força de atração gravitacional da Terra dada pela
Lei da Gravitação Universal de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small G}=G\frac{Mm}{r^2}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
então esta força é a resultante centrípeta, substituindo a equação (V) na equação (VI), onde
M = MT é a massa da Terra, r = RT é a distância do
satélite ao centro da Terra
\[
\begin{gather}
G\frac{M_{\small T}\cancel m}{R_{\small T}^2}=\cancel m\omega^2R_{\small T}
\end{gather}
\]
simplificando a massa m do satélite de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
G\frac{M_{\small T}}{R_{\small T}^2}=\omega ^2R_{\small T} \\[5pt]
\omega^2=G\frac{M_{\small T}}{R_{\small T}^3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega=\sqrt{G\frac{M_{\small T}}{R_{\small T}^3}\;}}
\end{gather}
\]
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