Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Calcule o valor da aceleração da gravidade em uma estação espacial que orbite a Terra a uma distância de 360 km da superfície (e.g. a Estação Espacial Internacional – International Space Station ISS). Dados: raio da Terra 6,37×103 km, massa da Terra 5,97×1024 kg e Constante Gravitacional Universal 6,67×10−11 N.m2/kg2.

Observação: e.g. é a abreviação da equação em latim “exempli gratia” que significa “por exemplo”.

Dados do problema:

  • Distância da estação à superfície da Terra: H = 360 km;
  • Raio da Terra: R = 6,37×103 km;
  • Massa da Terra: M = 5,97×1024 kg;
  • Constante Gravitacional Universal: G = 6,67×10−11 N.m2/kg2.

Esquema do problema:

O tamanho da estação espacial e do astronauta podem ser desprezados em relação à distância que se encontram da superfície da Terra, assim ambos estão sob a mesma força de atração gravitacional da Terra, \( {\vec F}_{\small G} \). A distância da estação ao centro da Terra (Figura 1) é a soma do raio terrestre R e da distância da estação à superfície da Terra H.
Figura 1

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton a um astronauta de massa m em órbita circular em torno da Terra

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \end{gather} \]

temos, em módulo, que a única força que atua no astronauta (e na estação espacial) é força de atração gravitacional da Terra dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small G}=G\frac{Mm}{r^2}} \end{gather} \]

a aceleração a que está submetido um corpo em órbita da Terra, igualando as duas equações acima, será

\[ \begin{gather} G\frac{M\cancel m}{r^2}=\cancel ma_{cp} \end{gather} \]

simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade e sendo a distância do astronauta ao centro da Terra dada por r=R+H

\[ \begin{gather} a_{cp}=G\frac{M}{(R+H)^2} \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} a_{cp}=6,67\times 10^{-11}\times \frac{5,97\times 10^{24}}{\left(6,37\times 10^{6}+0,36\times 10^{6}\right)^2} \\[5pt] a_{cp}=\frac{3,98\times 10^{14}}{\left(6,73\times 10^{6}\right)^2} \\[5pt] a_{cp}=\frac{3,98\times 10^{14}}{4,53\times 10^{13}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}=8,79\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Observações:

1 – A variação da aceleração na estação espacial em relação a aceleração na superfície da Terra é
\[ \begin{gather} \frac{9,81-8,79}{9,81}=\frac{1,02}{9,81}=0,10=\frac{10}{100}=10\mathrm{%} \end{gather} \]
A aceleração na estação espacial é apenas 10% menor do que aquela que sentimos na Terra.

2 – Se a aceleração na estação espacial não é zero porque os astronautas flutuam?
A explicação pode ser entendida com base numa situação imaginada por Isaac Newton (1642-1727) em seu livro Tratado do Sistema do Mundo (A Treatise of the System of the World - 1728). Suponha um canhão montado em uma montanha muito alta na Terra (Figura 2), se um tiro é disparado horizontalmente com pequena velocidade a bala cai na Terra atraída pela força da gravidade, se outro tiro é disparado com mais velocidade a bala pode ir mais longe, mas ainda cai na Terra, quando o canhão disparar o tiro com uma tal velocidade que a bala dê a volta na Terra entrando em órbita circular ela estará sempre caindo em direção à Terra sem nunca chegar. Esta é a situação do astronauta e da estação espacial ambos caem em direção a Terra, esta situação é comparável a uma pessoa em queda livre num elevador (Figura 3).
Figura 2
Este é o motivo pelo qual em aparelhos que simulam queda livre em parques de diversões as pessoas devem usar cintos de segurança, quando a pessoa e a cadeira caem em queda livre a pessoa "descola" do assento caindo para fora do aparelho.
Figura 3
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