Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Calcule o valor da aceleração da gravidade em uma estação espacial que orbite a Terra a uma distância de 360 km da superfície (e.g. a Estação Espacial Internacional – International Space Station ISS). Dados: raio da Terra 6,37.103 km, massa da Terra 5,97.1024 kg e Constante Gravitacional Universal 6,67.10−11 N.m2/kg2.

Observação: e.g. é a abreviação da expressão em latim “exempli gratia” que significa “por exemplo”.



Dados do problema:
  • Distância da estação à superfície da Terra:    H = 360 km;
  • Raio da Terra:    R = 6,37.103 km;
  • Massa da Terra:    M = 5,97.1024 kg;
  • Constante Gravitacional Universal:    G = 6,67.10−11 N.m2/kg2.
Esquema do problema:

O tamanho da estação espacial e do astronauta podem ser desprezados em relação à distância que se encontram da superfície da Terra, assim ambos estão sob a mesma força de atração gravitacional da Terra, \( {\vec{F}}_{G} \). A distância da estação ao centro da Terra (Figura 1) é a soma do raio terrestre R e da distância da estação à superfície da Terra H.
Figura 1

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton a um astronauta de massa m em órbita circular em torno da Terra
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \end{gather} \]
temos, em módulo, que a única força que atua no astronauta (e na estação espacial) é força de atração gravitacional da Terra dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{G}=G\frac{Mm}{r^{2}}} \end{gather} \]
a aceleração a que está submetido um corpo em órbita da Terra, igualando as duas expressões acima, será
\[ \begin{gather} G\frac{M\cancel{m}}{r^{2}}=\cancel{m}a_{cp} \end{gather} \]
simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade e sendo a distância do astronauta ao centro da Terra dada por r=R+H
\[ \begin{gather} a_{cp}=G\frac{M}{(R+H)^{2}} \end{gather} \]
substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} a_{cp}=6,67.10^{-11}.\frac{5,97.10^{24}}{\left(6,37.10^{6}+0,36.10^{6}\right)^{2}}\\[5pt] a_{cp}=\frac{3,98.10^{14}}{\left(6,73.10^{6}\right)^{2}}\\[5pt] a_{cp}=\frac{3,98.10^{14}}{4,53.10^{13}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}=8,79\;\text{m/s}^{2}} \end{gather} \]

Observações:

1 – A variação da aceleração na estação espacial em relação a aceleração na superfície da Terra é
\[ \begin{gather} \frac{9,81-8,79}{9,81}=\frac{1,02}{9,81}=0,10=\frac{10}{100}=10\text{%} \end{gather} \]
A aceleração na estação espacial é apenas 10% menor do que aquela que sentimos na Terra.

2 – Se a aceleração na estação espacial não é zero porque os astronautas flutuam?
A explicação pode ser entendida com base numa situação imaginada por Isaac Newton (1642-1727) em seu livro Tratado do Sistema do Mundo (A Treatise of the System of the World - 1728). Suponha um canhão montado em uma montanha muito alta na Terra (Figura 2), se um tiro é disparado horizontalmente com pequena velocidade a bala cai na Terra atraída pela força da gravidade, se outro tiro é disparado com mais velocidade a bala pode ir mais longe, mas ainda cai na Terra, quando o canhão disparar o tiro com uma tal velocidade que a bala dê a volta na Terra entrando em órbita circular ela estará sempre caindo em direção à Terra sem nunca chegar. Esta é a situação do astronauta e da estação espacial ambos caem em direção a Terra, esta situação é comparável a uma pessoa em queda livre num elevador (Figura 3).
Figura 2

Este é o motivo pelo qual em aparelhos que simulam queda livre em parques de diversões as pessoas devem usar cintos de segurança, quando a pessoa e a cadeira caem em queda livre a pessoa "descola" do assento caindo para fora do aparelho.

Figura 3
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