Exercício Resolvido de Leis de Kepler e Gravitação
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Um planeta de massa m descreve uma órbita circular em torno de uma estrela S a uma distância R, com uma velocidade tal que a duração de cada volta é T. O movimento se realiza sob a ação de uma força F de módulo constante, dirigida para S. Representa-se por acp, Ec e V, respectivamente a aceleração centrípeta, a energia cinética e a velocidade do planeta.
a) Estabelecer a equação de Ec em função de F e R, ou seja Ec = f(F, R);
b) Estabelecer em função de R, T e m as equações de V, acp e Ec, ou seja V = f(R, T, m), acp = f(R, T, m) e Ec = f(R, T, m);
c) Mostrar que F é dado pela equação \( F=A\dfrac{m}{R^2} \) em que A é uma constante;
d) Aplicar as equações encontradas calculando acp, F e Ec no caso da Terra em torno do Sol. São dados: velocidade da Terra em sua órbita 30 km/s, raio da órbita terrestre 15×107 km e massa da Terra 6×1021 t.

Dados do problema:

  • Massa do planeta: m;
  • Distância do planeta à estrela: R;
  • Período da órbita do planeta: T;
  • Força entre o planeta e a estrela: F;

Dados para a Terra:

  • Velocidade da Terra em sua órbita: vT = 30 km/s;
  • Raio da órbita terrestre: RT = 15×107 km;
  • Massa da Terra: mT = 6×1021 t.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade da Terra, dada em quilômetros por segundo (km/s) para metros por segundo (m/s), o raio da órbita da Terra dado em quilômetros (km) para metros (m), e a massa da Terra dada em toneladas (t) para quilogramas (kg), usadas no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

\[ \begin{gather} v_{\small T}=30\;\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\mathrm s}\times\frac{1000\;\mathrm m}{\mathrm{\cancel{km}}}=30000\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=3\times 10^{4}\mathrm{m/s} \\[10pt] R_{\small T}=15\times 10^{7}\;\mathrm{\cancel{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{\mathrm{\cancel{km}}}=15\times 10^{7}\times 10^3\;\mathrm m=15\times 10^{10}\;\mathrm m\\[10pt] m_{\small T}=6\times 10^{21}\;\mathrm{\cancel t}\times\frac{1000\;\mathrm{kg}}{\mathrm{\cancel t}}=6\times 10^{21}\times 10^{3}\;\mathrm{kg}=6\times 10^{24}\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

a) A energia cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]

fazendo v = V

\[ \begin{gather} E_c=\frac{mV^2}{2} \tag{I} \end{gather} \]

Como o planeta está girando em torno da estrela ele está sujeito a uma aceleração centrípeta dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{II} \end{gather} \]

fazendo v = V e r = R na equação (II), a velocidade será

\[ \begin{gather} V^2=a_{cp}R \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} E_c=\frac{ma_{cp}R}{2} \tag{IV} \end{gather} \]

A força centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{cp}=ma_{cp}} \end{gather} \]

fazendo a força centrípeta igual a força entre a estrela e o planeta dado no problema, Fcp = F

\[ \begin{gather} F=ma_{cp} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (IV)

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_c(F,R)=\frac{FR}{2}} \end{gather} \]

b) A velocidade de um corpo em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\omega R \tag{VI} \end{gather} \]

a velocidade angular ω é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=\frac{2\pi}{T}} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) na equação (VI), a velocidade será

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V(R,T,m)=2\pi \frac{R}{T}} \end{gather} \]

a velocidade será dependente do raio R e do período T e independe da massa m.
Para o cálculo da energia cinética substituímos o valor da velocidade encontrada acima na equação (I)

\[ \begin{gather} E_c=\frac{m}{2}\left(2\pi\frac{R}{T}\right)^2 \\[5pt] E_c=\frac{m}{2}4\pi^2\frac{R^2}{T^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_c(R,T,m)=2\pi^2\frac{mR^2}{T^2}} \end{gather} \]

Para o cálculo da aceleração centrípeta primeiro substituímos a equação (VI) na equação (II)

\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega R)^2}{R} \\[5pt] a_{cp}=\frac{\omega^2R^{\cancel{2}}}{\cancel{R}} \end{gather} \]

simplificando o raio R e substituindo o valor de ω pela equação (VII)

\[ \begin{gather} a_{cp}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}(R,T,m)=\frac{4\pi^2R}{T^2}} \end{gather} \]

o valor da aceleração centrípeta, assim como a velocidade, é independente da massa m.

c) Substituindo o resultado obtido acima para a aceleração centrípeta na equação (V) para a força

\[ \begin{gather} F=m\frac{4\pi^2R}{T^2} \end{gather} \]

multiplicando o numerador e o denominador do lado direito por R2

\[ \begin{gather} F=m\frac{4\pi^2R}{T^2}\times\frac{R^2}{R^2} \\[5pt] F=m\frac{4\pi^2R^3}{T^2R^2} \\[5pt] F=4\pi^2\frac{R^3}{T^2}\frac{m}{R^2} \end{gather} \]

Nesta equação o fator 4π2 é constante, o fator \( \dfrac{R^3}{T^2} \) também é constante, lembrando da 3.ª Lei de Kepler: “A razão entre o cubo da distância de um planeta ao Sol e o quadrado do período mantém-se constante para qualquer planeta”. Então estes dois fatores formam uma nova constante que pode ser definida como

\[ \begin{gather} A\equiv 4\pi^2\frac{R^3}{T^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=A\frac{m}{R^2}} \end{gather} \]

d) Para o cálculo da aceleração centrípeta usamos a equação (II) com os dados fornecidos para a Terra

\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{V_{T}^2}{R_{T}} \\[5pt] a_{cp}=\frac{\left(3\times 10^{4}\right)^2}{15\times 10^{10}} \\[5pt] a_{cp}=\frac{9\times 10^{8}}{15\times 10^{10}} \\[5pt] a_{cp}=\frac{9\times 10^{8}\times 10^{-10}}{15} \\[5pt] a_{cp}=\frac{9\times 10^{-2}}{15} \\[5pt] a_{cp}=0,006 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{cp}=6\times 10^{-3}\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

A força é obtida usando a equação (V) e a aceleração calculada acima

\[ \begin{gather} F=m_{\small T}a_{cp} \\[5pt] F=6\times 10^{24}\times 6\times 10^{-3} \\[5pt] F=36\times 10^{21} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=3,6\times 10^{22}\;\mathrm{N}} \end{gather} \]

A energia cinética é calculada usando o resultado do item (a) e a força calculada acima

\[ \begin{gather} E_c=\frac{FR}{2} \\[5pt] E_c=\frac{3,6\times 10^{22}\times 15\times 10^{10}}{2} \\[5pt] E_{C}=\frac{54\times 10^{32}}{2} \\[5pt] E_c=27\times 10^{32} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_c=2,7\times 10^{33}\;\mathrm J} \end{gather} \]
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