Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem advir de irregularidades na distribuição
de sua massa. Considere a Terra como uma esfera de raio R e densidade ρ uniforme, com
uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu interior. A distância entre os
centros O, da Terra, e C, da cavidade, é d, que pode variar de 0 (zero) até
R−a, causando uma variação no campo gravitacional em um ponto P, sobre
a superfície da Terra, alinhado com O e C (veja figura). Se G1 é a
intensidade do campo gravitacional em P sem a existência da cavidade na Terra, e
G2, a intensidade do campo no mesmo ponto, considerando a existência da cavidade. Qual
será o valor máximo da variação relativa:
\( \left(G_1-G_2\right)/G_1 \),
que se obtém ao deslocar a posição da cavidade?
Dados do problema:
- Raio da Terra: R;
- Densidade da Terra: ρ;
- Raio da cavidade interna contida na Terra: a;
- Distância entre o centro O da Terra e o centro C da cavidade: d.
Esquema do problema:
Esquema mostrando a Terra em corte com uma cavidade esférica no seu interior.
Solução:
- Campo gravitacional da Terra sem cavidade
A intensidade do campo gravitacional,
G1, da Terra sem a cavidade num ponto
P
situado a uma distância
R do centro é dada por (Figura 2)
\[
\begin{gather}
G_1=\frac{GM}{R^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
G é a constante da gravitação universal,
M a massa da Terra e
V o volume da
Terra, a massa é dada por
\[
\begin{gather}
M=\rho V \tag{II}
\end{gather}
\]
o problema considera a Terra como um a esfera, o volume de uma esfera é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{4}{3}\pi r^3} \tag{III}
\end{gather}
\]
para r = R
\[
\begin{gather}
V=\frac{4}{3}\pi R^3 \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (II), a massa é dada por
\[
\begin{gather}
M=\rho\frac{4}{3}\pi R^3 \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (I), a intensidade do campo gravitacional da Terra será
\[
\begin{gather}
G_1=\frac{G\rho\frac{4}{3}\pi R^{\cancel{3}}}{\cancel{R^2}}
\end{gather}
\]
simplificando os valores de R3 no numerador e R2 no denominador
\[
\begin{gather}
G_1=\frac{4}{3}\pi RG\rho \tag{VI}
\end{gather}
\]
- Campo gravitacional gerado pela esfera retirada da cavidade
O campo gravitacional,
GE, produzido por uma esfera de raio
a, massa
m,
volume
v e mesma densidade
ρ que a Terra, num ponto
P a uma distância
(
R−
d) será (Figura 3)
\[
\begin{gather}
G_{\small E}=\frac{Gm}{(R-d)^2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
a massa da esfera é calculada por
\[
\begin{gather}
m=\rho v \tag{VIII}
\end{gather}
\]
fazendo r = a na equação (III)
\[
\begin{gather}
v=\frac{4}{3}\pi a^3 \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IX) na equação (VIII) a massa será
\[
\begin{gather}
m=\rho\frac{4}{3}\pi a^3 \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (VII), o campo da esfera será
\[
\begin{gather}
G_{\small E}=\frac{\dfrac{4}{3}\pi a^3G\rho}{(R-d)^2} \\[5pt]
G_{\small E}=\frac{4}{3}\pi a^3G\rho\frac{1}{(R-d)^2} \tag{XI}
\end{gather}
\]
- Campo gravitacional da Terra com cavidade
O campo gravitacional G2 gerado pela Terra, num ponto P, com a cavidade deixada
quando se retira uma esfera do seu interior será dado pelo campo total dado em G1
(equação V) menos o campo GE da esfera retirada do seu interior (equação X)
\[
\begin{gather}
G_2=G_1-G_{\small E}=\frac{4}{3}\pi RG\rho-\frac{4}{3}\pi a^3G\rho\frac{1}{(R-d)^2}
\end{gather}
\]
colocando em evidência o termo
\( \frac{4}{3}\pi G\rho \)
do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
G_2=\frac{4}{3}\pi G\rho\left[R-\frac{a^3}{(R-d)^2}\right] \tag{XII}
\end{gather}
\]
Esta é a equação do campo gravitacional da Terra com uma cavidade no seu interior num ponto
P
(Figura 4).
Usando as equações (VI) e (XII) calcula-se a variação pedida no problema
\[
\begin{gather}
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{\cancel{\dfrac{4}{3}}\cancel{\pi} R \cancel{G}\cancel{\rho} -\cancel{\dfrac{4}{3}}\cancel{\pi} \cancel{G}\cancel{\rho} \left[R-\dfrac{a^3}{(R-d)^2}\right]}{\cancel{\dfrac{4}{3}}\cancel{\pi} R \cancel{G}\cancel{\rho}}
\end{gather}
\]
simplificando o termo
\( \frac{4}{3}\pi G\rho \)
que aparece em todos os termos da equação
\[
\begin{gather}
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{R-R+\dfrac{a^3}{(R-d)^2}}{R} \\[5pt]
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{a^3}{R(R-d)^2}
\end{gather}
\]
A equação acima fornece a variação relativa do campo gravitacional e terá um valor máximo quando o
denominador tiver um valor mínimo. Como R (o raio da Terra é uma constante) então d dever
ser máximo para tornar a diferença (R−d) mínima, o enunciado nos diz que d varia
de zero (valor mínimo) até R−a (valor máximo), assim d = R−a
\[
\begin{gather}
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{a^3}{R[R-(R-a)]^2} \\[5pt]
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{a^3}{R[R-R+a]^2} \\[5pt]
\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{a^{\cancel{3}}}{R\cancel{[a]^2}}
\end{gather}
\]
simplificando os termos, a3 no numerador e a2 no denominador, a
variação máxima do campo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{G_1-G_2}{G_1}=\frac{a}{R}}
\end{gather}
\]
Observação: A equação (I) é obtida a partir da
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m a}
\end{gather}
\]
e da
Lei da Gravitação Universal
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=G\frac{Mm}{r^2}}
\end{gather}
\]
Fazenfo
a =
g na primeira equação e igualando as duas equações
\[
\begin{gather}
m g=G\frac{Mm}{r^2} \\[5pt]
g=\frac{GM}{r^2}
\end{gather}
\]
esta equação fornece a aceleração da gravidade em qualquer corpo, conhecidos a sua massa
M e o
seu raio
r.
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