Um cone reto de altura H e massa específica μ flutua num líquido de massa específica μ
L, com o vértice para fora. Calcular a altura da parte imersa.
Dados do problema:
- Altura do cone: H;
- Massa específica do cone: μ;
- Massa específica do líquido: μL.
Esquema do problema:
Seja
R o raio da base do cone de altura
H (Figura 1-A), este pode ser dividido em duas partes,
um cone emerso, de altura
he e raio
r, e um tronco de cone imerso, de altura
hi e raio inferior
R e raio superior
r. A altura do cone será dada pela soma
das alturas das duas partes
\[
\begin{gather}
H=h_{e}+h_{i} \tag{I}
\end{gather}
\]
O volume do cone (
VC) é dado pela soma do cone emerso (
Ve) com o volume
do tronco de cone imerso (
Vi)
\[
\begin{gather}
V_{C}=V_{e}+V_{i} \tag{II}
\end{gather}
\]
As forças que atuam no cone são a força peso
\( \vec{P} \)
e a força de empuxo
\( \vec{E} \),
conforme a Figura 1-B. A força peso é devido à massa de todo cone de volume
VC, e a força
de empuxo é devido à massa de líquido deslocado pelo tronco de cone imerso de volume
Vi
(Figura 1-C).
Solução
Adotando g para a aceleração local da gravidade o peso do cone é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{C}=m_{C}g \tag{III}
\end{gather}
\]
a força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{L}g} \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde
mL é massa de líquido deslocada.
Para que o cone flutue devemos ter a condição
\[
\begin{gather}
\sum_{i}F_{i}=0
\end{gather}
\]
aplicando esta condição ao sistema (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
E-P=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
m_{L}g-m_{C}g=0\\[5pt]
m_{L}\cancel{g}=m_{C}\cancel{g}\\[5pt]
m_{L}=m_{C} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A massa específica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mu =\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
com o volume de líquido deslocado (
VL) é visto como um tronco de cone com o mesmo volume do
tronco de cone imerso (
Vi =
VL), aplicando esta expressão ao corpo e ao
líquido
\[
\begin{gather}
\mu =\frac{m_{C}}{V_{C}}\\[5pt]
m_{C}=\mu V_{C} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mu _{L}=\frac{m_{L}}{V_{i}}\\[5pt]
m_{L}=\mu_{L}V_{i} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VII) e (VIII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
\mu_{L}V_{i}=\mu V_{C} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Da expressão (II) podemos escrever o volume da parte imersa em termos dos volumes do cone e da parte emersa
\[
\begin{gather}
V_{i}=V_{C}-V_{e} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\mu_{L}\left(V_{C}-V_{e}\right)=\mu V_{C}\\[5pt]
\mu_{L}V_{C}-\mu_{L}V_{e}=\mu V_{C} \tag{XI}
\end{gather}
\]
O volume de um cone é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}
\end{gather}
\]
Escrevendo o volume do cone total e o volume da parte emersa
\[
\begin{gather}
V_{C}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H \tag{XII-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{e}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{e} \tag{XII-b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XII-a) e (XII-b) na expressão (XI)
\[
\begin{gather}
\mu_{L}\cancel{\frac{1}{3}\pi} R^{2}H-\mu_{L}\cancel{\frac{1}{3}\pi} r^{2}h_{e}=\mu\cancel{\frac{1}{3}\pi} R^{2}H\\[5pt]
\mu_{L}R^{2}H-\mu_{L}r^{2}h_{e}=\mu R^{2}H\\[5pt]
\mu_{L}R^{2}H-\mu R^{2}H=\mu_{L}r^{2}h_{e}\\[5pt]
R^{2}H\left(\mu_{L}-\mu \right)=\mu_{L}r^{2}h_{e}\\[5pt]
h_{e}=\frac{R^{2}H\left(\mu_{L}-\mu \right)}{\mu_{L}r^{2}}\\[5pt]
h_{e}=\frac{R^{2}H}{r^{2}}\left(\frac{\mu_{L}-\mu}{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
h_{e}=H\frac{R^{2}}{r^{2}}\left(\frac{\mu_{L}}{\mu_{L}}-\frac{\mu }{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
h_{e}=H\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A razão entre os raios do cone e da parte emersa
\( \left(\frac{R}{r}\right) \)
pode ser obtido observando-se que uma seção transversal que passa pelo meio cone é um triângulo, metade
desse triângulo forma um triângulo retângulo (Figura 2). Aplicando a
Semelhança de Triângulos
\[
\begin{gather}
\frac{H}{R}=\frac{h_{e}}{r}\\[5pt]
\frac{R}{r}=\frac{H}{h_{e}} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XIV) na expressão (XIII)
\[
\begin{gather}
h_{e}=H\left(\frac{H}{h_{e}}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right) \tag{XV}
\end{gather}
\]
da expressão (I) temos a altura do cone emerso
\[
\begin{gather}
h_{e}=H-h_{i} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XVI) na expressão (XV)
\[
\begin{gather}
H-h_{i}=H\left(\frac{H}{H-h_{i}}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
H-h_{i}=HH^{2}\frac{1}{{\left(H-h_{i}\right)}^{2}}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
\left(H-h_{i}\right)\left(H-h_{i}\right)^{2}=H^{3}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
\left(H-h_{i}\right)^{3}=H^{3}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{L}}\right)\\[5pt]
H-h_{i}=\sqrt[{3\;}]{H^{3}\left(1-\frac{\mu }{\mu_{L}}\right)\;}\\[5pt]
H-h_{i}=H\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{L}}\;}\\[5pt]
h_{i}=H-H\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{L}}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{h_{i}=H\left(1-\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{L}}\;}\right)}
\end{gather}
\]