Exercício Resolvido de Fluidos
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Num vaso contendo água soltam-se duas esferas. A primeira com densidade d1 > 1, é largada na superfície livre, e a segunda com densidade d2 < 1, é abandonada no fundo. Calcular a razão de suas velocidades quando passam pelo ponto médio da altura da água no vaso. A densidade da água é de 1 g/cm3.
Dados do problema:
- Densidade da esfera 1: d1;
- Densidade da esfera 2: d2;
- Densidade da água: dA = 1 g/m3.
Adota-se um sistema de referência com origem no fundo do vaso e orientado para cima (Figura 1).
Inicialmente as esferas estão em repouso (v01 = v02 = 0), como a densidade da esfera 1 é maior do que a densidade da água (d1 > 1) ela começa a afundar, e a esfera 2 que tem densidade menor que a da água (d2 < 1) começa a subir.
Vamos adotar h para a altura do vaso e g para a aceleração local da gravidade.
Inicialmente as esferas estão em repouso (v01 = v02 = 0), como a densidade da esfera 1 é maior do que a densidade da água (d1 > 1) ela começa a afundar, e a esfera 2 que tem densidade menor que a da água (d2 < 1) começa a subir.
Vamos adotar h para a altura do vaso e g para a aceleração local da gravidade.
Solução
Aplicando a 2.ª Lei de Newton às forças da Figura 1
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para a esfera na superfície
\[
\begin{gather}
E_{1}-P_{1}=m_{1}a_{1} \tag{II}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{III}
\end{gather}
\]
para a esfera 1
\[
\begin{gather}
P_{1}=m_{1}g \tag{IV}
\end{gather}
\]
a força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
E_{1}=m_{A}g \tag{V}
\end{gather}
\]
onde mA é massa de água deslocada, substituindo as expressões (IV) e (V) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
m_{A}g-m_{1}g=m_{1}a_{1} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A densidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
com o volume V do corpo igual ao volume de água deslocada, aplicando esta expressão ao corpo e ao
líquido
\[
\begin{gather}
d_{1}=\frac{m_{1}}{V_{1}}\\[5pt]
m_{1}=d_{1}V_{1} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d_{A}=\frac{m_{A}}{V_{1}}\\[5pt]
m_{A}=d_{A}V_{1} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VIII) e (IX) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
d_{A}\cancel{V_{1}}g-d_{1}\cancel{V_{1}}g=d_{1}\cancel{V_{1}}a_{1}\\[5pt]
d_{A}g-d_{1}g=d_{1}a_{1}\\[5pt]
g(d_{A}-d_{1})=d_{1}a_{1}\\[5pt]
g(1-d_{1})=d_{1}a_{1}
\end{gather}
\]
e a aceleração com que a esfera 1 afunda
\[
\begin{gather}
a_{1}=\frac{g(1-d_{1})}{d_{1}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Analogamente aplicando a expressão (I) para o caso da segunda esfera
\[
\begin{gather}
E_{2}-P_{2}=m_{2}a_{2}
\end{gather}
\]
as forças peso e de empuxo serão dadas por
\[
\begin{gather}
P_{2}=m_{2}g
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{2}=m_{A}g
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
m_{A}g-m_{2}g=m_{2}a_{2}
\end{gather}
\]
substituindo as massas pelas expressões obtidas a partir das densidades, expressão (VII)
\[
\begin{gather}
d_{2}=\frac{m_{2}}{V_{2}}\Rightarrow m_{2}=d_{2}V_{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d_{A}=\frac{m_{A}}{V_{2}}\Rightarrow m_{A}=d_{A}V_{2}
\end{gather}
\]
a aceleração da esfera 2 será
\[
\begin{gather}
d_{A}V_{2}g-d_{2}V_{2}g=d_{2}V_{2}a_{2}\\[5pt]
d_{A}g-d_{2}g=d_{2}a_{2}\\[5pt]
g(d_{A}-d_{2})=d_{2}a_{2}\\[5pt]
g(1-d_{2})=d_{2}a_{2}
\end{gather}
\]
e a aceleração com que a esfera 2 sobe
\[
\begin{gather}
a_{2}=\frac{g(1-d_{2})}{d_{2}} \tag{XI}
\end{gather}
\]
Usando a Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^{2}=v^{2}+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
Escrevendo esta equação para os dois casos
\[
\begin{gather}
v_{1}^{2}=v_{01}^{2}-2a_{1}\Delta S
\end{gather}
\]
a aceleração da esfera 1 está no sentido contrário do referencial por isso é negativa, o deslocamento será da
superfície até a metade do vaso
\( \left(\Delta S=\dfrac{h}{2}\right) \),
substituindo a expressão (X) e a velocidade inicial suposta nula
\[
\begin{gather}
v_{1}^{2}=0^{2}-2\frac{g(1-d_{1})}{d_{1}}\frac{h}{2}\\[5pt]
v_{1}^{2}=\frac{-{g(1-d_{1})h}}{d_{1}}\\[5pt]
v_{1}^{2}=\frac{g(d_{1}-1)h}{d_{1}} \tag{XII}
\end{gather}
\]
A aceleração da esfera 2 está no mesmo sentido do referencial por isso é positiva, o deslocamento será o
mesmo da esfera 1, substituindo a expressão (XI) e a velocidade inicial suposta nula
\[
\begin{gather}
v_{2}^{2}=0^{2}+2\frac{g(1-d_{2})}{d_{2}}\frac{h}{2}\\[5pt]
v_{2}^{2}=\frac{g(1-d_{2})h}{d_{2}} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (XII) pela expressão (XIII)
\[
\begin{gather}
\frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}}=\frac{\dfrac{g(d_{1}-1)h}{d_{1}}}{\dfrac{g(1-d_{2})h}{d_{2}}}\\[5pt]
\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{\cancel{g}(d_{1}-1)\cancel{h}}{d_{1}}\frac{d_{2}}{\cancel{g}(1-d_{2})\cancel{h}}\\[5pt]
\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{(d_{1}-1)}{d_{1}}\frac{d_{2}}{(1-d_{2})}\\[5pt]
\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{(d_{1}-1)}{(1-d_{2})}\frac{d_{2}}{d_{1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\frac{(d_{1}-1)}{(1-d_{2})}\frac{d_{2}}{d_{1}}}}
\end{gather}
\]
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