Exercício Resolvido de Fluidos
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Num vaso contendo água soltam-se duas esferas. A primeira com densidade d1 > 1, é largada na superfície livre, e a segunda com densidade d2 < 1, é abandonada no fundo. Calcular a razão de suas velocidades quando passam pelo ponto médio da altura da água no vaso. A densidade da água é de 1 g/cm3.


Dados do problema:
  • Densidade da esfera 1:    d1;
  • Densidade da esfera 2:    d2;
  • Densidade da água:    dA = 1 g/m3.
Esquema do problema:

Adota-se um sistema de referência com origem no fundo do vaso e orientado para cima (Figura 1).
Inicialmente as esferas estão em repouso (v01 = v02 = 0), como a densidade da esfera 1 é maior do que a densidade da água (d1 > 1) ela começa a afundar, e a esfera 2 que tem densidade menor que a da água (d2 < 1) começa a subir.
Vamos adotar h para a altura do vaso e g para a aceleração local da gravidade.
Figura 1

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton às forças da Figura 1
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Para a esfera na superfície
\[ \begin{gather} E_{1}-P_{1}=m_{1}a_{1} \tag{II} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]
para a esfera 1
\[ \begin{gather} P_{1}=m_{1}g \tag{IV} \end{gather} \]
a força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} E_{1}=m_{A}g \tag{V} \end{gather} \]
onde mA é massa de água deslocada, substituindo as expressões (IV) e (V) na expressão (II)
\[ \begin{gather} m_{A}g-m_{1}g=m_{1}a_{1} \tag{VI} \end{gather} \]
A densidade é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \tag{VII} \end{gather} \]
com o volume (V) do corpo igual ao volume de água deslocada, aplicando esta expressão ao corpo e ao líquido
\[ \begin{gather} d_{1}=\frac{m_{1}}{V_{1}}\\ m_{1}=d_{1}V_{1} \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} d_{A}=\frac{m_{A}}{V_{1}}\\ m_{A}=d_{A}V_{1} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VIII) e (IX) na expressão (VI)
\[ d_{A}\cancel{V_{1}}g-d_{1}\cancel{V_{1}}g=d_{1}\cancel{V_{1}}a_{1} \]
simplificando o volume V1 de ambos os lados da igualdade, colocando a aceleração da gravidade (g) em evidência do lado esquerdo da igualdade e substituindo a densidade da água pelo valor dado no problema
\[ \begin{gather} d_{A}g-d_{1}g=d_{1}a_{1}\\ g(d_{A}-d_{1})=d_{1}a_{1}\\ g(1-d_{1})=d_{1}a_{1} \end{gather} \]
e a aceleração com que a esfera 1 afunda
\[ \begin{gather} a_{1}=\frac{g(1-d_{1})}{d_{1}} \tag{X} \end{gather} \]
Analogamente aplicando a expressão (I) para o caso da segunda esfera
\[ E_{2}-P_{2}=m_{2}a_{2} \]
as forças peso e de empuxo serão dadas por
\[ P_{2}=m_{2}g \]
\[ E_{2}=m_{A}g \]
\[ m_{A}g-m_{2}g=m_{2}a_{2} \]
substituindo as massas pelas expressões obtidas a partir das densidades, expressão (VII)
\[ d_{2}=\frac{m_{2}}{V_{2}}\Rightarrow m_{2}=d_{2}V_{2} \]
\[ d_{A}=\frac{m_{A}}{V_{2}}\Rightarrow m_{A}=d_{A}V_{2} \]
a aceleração da esfera 2 será
\[ \begin{gather} d_{A}V_{2}g-d_{2}V_{2}g=d_{2}V_{2}a_{2}\\ d_{A}g-d_{2}g=d_{2}a_{2}\\ g(d_{A}-d_{2})=d_{2}a_{2}\\ g(1-d_{2})=d_{2}a_{2} \end{gather} \]
e a aceleração com que a esfera 2 sobe
\[ \begin{gather} a_{2}=\frac{g(1-d_{2})}{d_{2}} \tag{XI} \end{gather} \]
Usando a Equação de Torricelli
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v^{2}+2a\Delta S} \]
Escrevendo esta equação para os dois casos
\[ v_{1}^{2}=v_{01}^{2}-2a_{1}\Delta S \]
a aceleração da esfera 1 está no sentido contrário do referencial por isso é negativa, o deslocamento será da superfície até a metade do vaso \( \left(\Delta S=\dfrac{h}{2}\right) \), substituindo a expressão (X) e a velocidade inicial suposta nula
\[ \begin{gather} v_{1}^{2}=0^{2}-2\frac{g(1-d_{1})}{d_{1}}\frac{h}{2}\\ v_{1}^{2}=\frac{-{g(1-d_{1})h}}{d_{1}}\\ v_{1}^{2}=\frac{g(d_{1}-1)h}{d_{1}} \tag{XII} \end{gather} \]
A aceleração da esfera 2 está no mesmo sentido do referencial por isso é positiva, o deslocamento será o mesmo da esfera 1, substituindo a expressão (XI) e a velocidade inicial suposta nula
\[ \begin{gather} v_{2}^{2}=0^{2}+2\frac{g(1-d_{2})}{d_{2}}\frac{h}{2}\\ v_{2}^{2}=\frac{g(1-d_{2})h}{d_{2}} \tag{XIII} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (XII) pela expressão (XIII)
\[ \begin{gather} \frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}}=\frac{\dfrac{g(d_{1}-1)h}{d_{1}}}{\dfrac{g(1-d_{2})h}{d_{2}}}\\[8pt] \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{\cancel{g}(d_{1}-1)\cancel{h}}{d_{1}}\frac{d_{2}}{\cancel{g}(1-d_{2})\cancel{h}} \end{gather} \]
simplificando a aceleração (g) e a altura (h) do vaso no numerador e no denominador do lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{(d_{1}-1)}{d_{1}}\frac{d_{2}}{(1-d_{2})}\\ \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}=\frac{(d_{1}-1)}{(1-d_{2})}\frac{d_{2}}{d_{1}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\frac{(d_{1}-1)}{(1-d_{2})}\frac{d_{2}}{d_{1}}}} \]
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