Sabendo que P1, P2 e P3 são os pesos aparentes de um
mesmo corpo quanto totalmente imerso em três líquidos diferentes de pesos específicos
ρ1, ρ2 e ρ3 respectivamente,
demonstrar que
\[
\begin{gather}
(\rho_2-\rho_3)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2+(\rho_1-\rho_2)P_3=0
\end{gather}
\]
Dados do problema:
- Pesos aparentes do corpo: P1, P2, P3;
- Pesos específicos do corpo: ρ1, ρ2, ρ3.
Solução:
O peso específico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho=\frac{P}{V}}
\end{gather}
\]
onde V é o volume do corpo que permanece constante.
Escrevendo esta equação para as três situações
\[
\begin{gather}
\rho_1=\frac{P_1}{V} \\[5pt]
V\rho_1=P_1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_2=\frac{P_2}{V} \\[5pt]
V\rho_2=P_2 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_3=\frac{P_3}{V} \\[5pt]
V\rho_3=P_3 \tag{III}
\end{gather}
\]
subtraindo a equação (II) da equação (I)
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
V\rho_1=P_1\\
\qquad\quad\; V\rho_2=P_2 \qquad \mathrm{(-)}
\end{matrix}}
{V\rho_1-V\rho_2=P_1-P_2}
\end{gather}
\]
colocando o volume V em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
V(\rho_1-\rho_2)=P_1-P_2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
da equação (III) isolando o volume (V)
\[
\begin{gather}
V=\frac{P_3}{\rho_3} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
P_3(\rho_1-\rho_2)=(\rho_3-\rho_2)P_1-(\rho_3-\rho_1)P_2+\rho_2P_1-\rho_2P_1 \\[5pt]
P_3(\rho_1-\rho_2)=(\rho_3-\rho_2)P_1-(\rho_3-\rho_1)P_2+0 \\[5pt]
(\rho_1-\rho_2)P_3-(\rho_3-\rho_2)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2=0 \\[5pt]
(\rho_1-\rho_2)P_3+(-\rho_3+\rho_2)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2=0
\end{gather}
\]
somado e subtraindo ρ2P1 e
ρ1P2 do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
P_3(\rho_1-\rho_2)=\rho_3P_1-\rho_3P_2+\rho_2P_1-\rho_2P_1+\rho_1P_2-\rho_1P_2
\end{gather}
\]
Observação: Somando e subtraindo esses termos estamos, na verdade, somando zero, o que não
altera a equação inicial.
\[
\begin{gather}
P_3(\rho_1-\rho_2)=\rho_3P_1-\rho_3P_2+\underbrace{\rho_2P_1-\rho_2P_1}_0+\underbrace{\rho_1P_2-\rho_1P_2}_0
\end{gather}
\]
Coletando o 1.º e o 4.º termos do lado direito da igualdade e colocando P1
em evidência, e coletando o 2.º e o 5.º termos e colocando P2 em evidência
\[
\begin{gather}
P_3(\rho_1-\rho_2)=(\rho_3-\rho_2)P_1-(\rho_3-\rho_1)P_2+\rho_2P_1-\rho_1P_2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
Reescrevendo as equações (I) e (II)
\[
\begin{gather}
V=\frac{P_1}{\rho_1} \qquad \text{e} \qquad V=\frac{P_2}{\rho_2}
\end{gather}
\]
igualando estas duas equações
\[
\begin{gather}
\frac{P_1}{\rho_1}=\frac{P_2}{\rho_2} \\[5pt]
\rho_2P_1=\rho_1P_2 \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
P_3(\rho_1-\rho_2)=(\rho_3-\rho_2)P_1-(\rho_3-\rho_1)P_2+\rho_2P_1-\rho_2P_1 \\[5pt]
P_3(\rho_1-\rho_2)=(\rho_3-\rho_2)P_1-(\rho_3-\rho_1)P_2+0 \\[5pt]
(\rho_1-\rho_2)P_3-(\rho_3-\rho_2)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2=0 \\[5pt]
(\rho_1-\rho_2)P_3+(-\rho_3+\rho_2)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{(\rho_2-\rho_3)P_1+(\rho_3-\rho_1)P_2+(\rho_1-\rho_2)P_3=0} \tag{Q.E.D}
\end{gather}
\]
Observação: Q.E.D. é a abreviação da equação em latim “quod erat demosntrandum” que
significa “como queríamos demonstrar”.