Exercício Resolvido de Fluidos
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Um líquido de massa específica μ1 e massa m1 é misturado a um outro, de massa específica μ2 e massa m2. Sabendo-se que o volume final diminui de 1/n, determinar a massa específica da mistura.


Dados do problema:
  • Massa específica do líquido 1:    μ1;
  • Massa do líquido 1:    m1;
  • Massa específica do líquido 2:    μ2;
  • Massa do líquido 2:    m2;
  • Diminuição do volume:    \( \dfrac{1}{n} \).
Esquema do problema:

A massa final é a soma das massas mF = m1+m2, e o volume final deveria ser a soma dos volumes, VF = V1+V2, mas sofre uma diminuição de \( \frac{1}{n} \), ou seja
\[ \begin{gather} V_{F}=(V_{1}+V_{2})\left(1-\frac{1}{n}\right)\\ V_{F}=(V_{1}+V_{2})\left(\frac{n-1}{n}\right) \end{gather} \]
Figura 1

Solução

A massa específica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \]
A massa específica da mistura final será
\[ \begin{gather} \mu_{F}=\frac{m_{F}}{V_{F}}\\ \mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})}{(V_{1}+V_{2})\left(\dfrac{n-1}{n}\right)}\\ \mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{(V_{1}+V_{2})(n-1)} \tag{I} \end{gather} \]
Escrevendo as expressões para as massas específicas dos líquidos iniciais
\[ \begin{gather} \mu_{1}=\frac{m_{1}}{V_{1}}\\ V_{1}=\frac{m_{1}}{\mu_{1}} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mu_{2}=\frac{m_{2}}{V_{2}}\\ V_{2}=\frac{m_{2}}{\mu_{2}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[ \mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{\left(\dfrac{m_{1}}{\mu_{1}}+\dfrac{m_{2}}{\mu_{2}}\right)(n-1)} \]
no denominador, o termo entre parênteses tem como fator comum μ1μ2
\[ \mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{\left(\dfrac{m_{1}\mu_{2}+m_{2}\mu_{1}}{\mu_{1}\mu_{2}}\right)(n-1)} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n\mu_{1}\mu_{2}}{(m_{1}\mu_{2}+m_{2}\mu_{1})(n-1)}} \]
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