Um sólido tem pesos aparentes P1 e P2 quando imerso em dois líquidos de
pesos específicos ρ1 e ρ2 respectivamente. Determine o seu peso aparente num
líquido de peso específico
\( \dfrac{1}{2}(\rho_1+\rho_2) \).
Dados do problema:
- Peso aparente do sólido no líquido 1: P1;
- Peso específico do líquido 1: ρ1;
- Peso aparente do sólido no líquido 2: P2;
- Peso específico do líquido 2: ρ2;
-
Peso específico do líquido 3:
\( \rho_3=\frac{1}{2}(\rho_1+\rho_2) \).
Solução:
O peso aparente de um corpo é a diferença entre o peso real (P) e o peso do líquido deslocado pelo
corpo PL, assim para cada um dos três líquidos podemos escrever as seguintes equações
\[
\begin{gather}
P_1=P-P_{\small L1} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_2=P-P_{\small L2} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_3=P-P_{\small L3} \tag{III}
\end{gather}
\]
escrevendo as equações para os pesos específicos dos três líquidos, sendo V o volume do sólido
que é igual ao volume de líquido deslocado
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho =\frac{P}{V}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_1=\frac{P_{\small L1}}{V} \\[5pt]
P_{\small L1}=\rho_1V \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_2=\frac{P_{\small L2}}{V} \\[5pt]
P_{\small L2}=\rho_2V \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\rho_3=\frac{P_{\small L3}}{V} \\[5pt]
P_{\small L3}=\rho_3V \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) e (V) nas equações (I) e (II), respectivamente, obtemos o seguinte
sistema
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
P_1=P-\rho_1V \\
P_2=P-\rho
_2V
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
somando as equações acima
\[
\begin{gather}
\frac{\begin{matrix}
P_1=P-\rho_1V \\
P_2=P-\rho_2V
\end{matrix}}
{P_1+P_2=2P-\rho_1V-\rho_2V} \\[5pt]
P_1+P_2=2P-(\rho_1+\rho_2)V \\[5pt]
2P=P_1+P_2+(\rho_1+\rho _2)V \\[5pt]
P=\frac{P_1+P_2+(\rho_1+\rho_2)V}{2} \\[5pt]
P=\frac{P_1+P_2}{2}+\frac{(\rho_1+\rho_2)V}{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (III)
\[
\begin{gather}
P_3=\frac{P_1+P_2}{2}+\frac{1}{2}(\rho_1+\rho_2)V-\rho_3V
\end{gather}
\]
substituindo ρ3 pelo valor dado no problema
\[
\begin{gather}
P_3=\frac{P_1+P_2}{2}+\frac{1}{2}(\rho_1+\rho_2)V-\frac{1}{2}(\rho_1+\rho_2)V
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{P_3=\frac{P_1+P_2}{2}}
\end{gather}
\]