Exercício Resolvido de Fluidos
publicidade   



Uma jangada de madeira é constituída de toras cujo volume é aproximadamente 100 litros cada. A densidade da madeira é 0,8 kg/ℓ. Três pessoas de 70 kg cada, fazem com que a jangada fique com 10% do seu volume emerso em água de densidade 1 kg/ℓ. Determine quantas toras compõem a jangada.


Dados do problema:
  • Volume da tora de madeira:    Vt = 100 ℓ;
  • Densidade da madeira:    dt = 0,8 kg/ℓ;
  • Massa de uma pessoa:    mp = 70 kg;
  • Fração da jangada que fica emersa:    f = 10%;
  • Densidade da água:    da = 1 kg/ℓ.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

O sistema está em equilíbrio, onde atuam a força peso da jangada (\( {\vec{P}}_{j} \)), a força peso das pessoas (\( {\vec{P}}_{3p} \)) e a força de empuxo (\( \vec{E} \)), devido ao volume de água deslocada pela fração da jangada que está imersa (Figura 2).
\[ \begin{gather} {\vec{P}}_{j}+{\vec{P}}_{p}=\vec{E} \tag{I} \end{gather} \]
A força peso da jangada é dada pelo produto das n toras que compõem a jagada pela força peso de uma tora (\( {\vec{P}}_{t} \))
\[ \begin{gather} P_{j}=nP_{t} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2

a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]
a densidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \]
onde d é a densidade do corpo e V o volume.
\[ \begin{gather} m=dV \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III), temos para a força peso de uma tora
\[ \begin{gather} P_{t}=d_{t}V_{t}g \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (II), temos o peso da jangada
\[ \begin{gather} P_{j}=nd_{t}V_{t}g \tag{VI} \end{gather} \]
A força peso das pessoas são 3 vezes o peso de uma pessoa
\[ \begin{gather} P_{3p}=3P_{p} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (VII), para a massa de uma pessoa
\[ \begin{gather} P_{3p}=3m_{p}g \tag{VIII} \end{gather} \]
A força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{L}g} \tag{IX} \end{gather} \]
onde mL = ma é a massa de água deslocada por uma tora. Usando a expressão (IV) a massa de água deslocado será
\[ \begin{gather} m_{a}=d_{a}V_{a} \tag{X} \end{gather} \]
onde da é a densidade da água onde o corpo está imerso e Va é o volume de água deslocada pela fração das toras que estão imersas na água. O problema diz que 10% da jangada está emersa, ou seja, os outros 90% = 0,9 estão imersos, e são responsáveis pela massa de água deslocada. Para a água deslocada por todas as toras que compõem a jangada devemos multiplicar a expressão por n. Substituindo a expressão (IX) em (VIII)
\[ \begin{gather} E=nd_{a}V_{a}g \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI), (VIII) nas expressões (XI) em (I)
\[ nd_{t}V_{t}\cancel{g}+3m_{p}\cancel{g}=nd_{a}V_{a}\cancel{g} \]
simplificando a aceleração da gravidade (g) de ambos os lados da igualdade e substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} nd_{t}V_{t}+3m_{p}=nd_{a}V_{a}\\ n0,8.100+3.70=n1.0,9.100\\ 90n-80n=210\\ 10n=210\\ n=\frac{210}{10} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {n=21\;\text{toras}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .