Exercício Resolvido de Fluidos
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Uma jangada de madeira é constituída de toras cujo volume é aproximadamente 100 litros cada. A densidade da madeira é 0,8 kg/ℓ. Três pessoas de 70 kg cada, fazem com que a jangada fique com 10% do seu volume emerso em água de densidade 1 kg/ℓ. Determine quantas toras compõem a jangada.
Dados do problema:
- Volume da tora de madeira: Vt = 100 ℓ;
- Densidade da madeira: dt = 0,8 kg/ℓ;
- Massa de uma pessoa: mp = 70 kg;
- Fração da jangada que fica emersa: f = 10%;
- Densidade da água: da = 1 kg/ℓ.
Solução
O sistema está em equilíbrio, onde atuam a força peso da jangada
\( {\vec{P}}_{j} \),
a força peso das pessoas
\( {\vec{P}}_{3p} \)
e a força de empuxo
\( \vec{E} \),
devido ao volume de água deslocada pela fração da jangada que está imersa (Figura 2).
\[
\begin{gather}
{\vec{P}}_{j}+{\vec{P}}_{p}=\vec{E} \tag{I}
\end{gather}
\]
A força peso da jangada é dada pelo produto das n toras que compõem a jagada pela força peso de uma tora
\( {\vec{P}}_{t} \)
\[
\begin{gather}
P_{j}=nP_{t} \tag{II}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{III}
\end{gather}
\]
a densidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
onde d é a densidade do corpo e V o volume.
\[
\begin{gather}
m=dV \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III), temos para a força peso de uma tora
\[
\begin{gather}
P_{t}=d_{t}V_{t}g \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (II), temos o peso da jangada
\[
\begin{gather}
P_{j}=nd_{t}V_{t}g \tag{VI}
\end{gather}
\]
A força peso das pessoas são 3 vezes o peso de uma pessoa
\[
\begin{gather}
P_{3p}=3P_{p} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (VII), para a massa de uma pessoa
\[
\begin{gather}
P_{3p}=3m_{p}g \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{L}g} \tag{IX}
\end{gather}
\]
onde mL = ma é a massa de água deslocada por uma tora. Usando a expressão (IV)
a massa de água deslocado será
\[
\begin{gather}
m_{a}=d_{a}V_{a} \tag{X}
\end{gather}
\]
onde da é a densidade da água onde o corpo está imerso e Va é o volume de
água deslocada pela fração das toras que estão imersas na água. O problema diz que 10% da jangada está emersa,
ou seja, os outros 90% = 0,9 estão imersos, e são responsáveis pela massa de água deslocada. Para a água deslocada
por todas as toras que compõem a jangada devemos multiplicar a expressão por n. Substituindo a expressão
(IX) em (VIII)
\[
\begin{gather}
E=nd_{a}V_{a}g \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI), (VIII) nas expressões (XI) em (I) e substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
nd_{t}V_{t}\cancel{g}+3m_{p}\cancel{g}=nd_{a}V_{a}\cancel{g}\\[5pt]
nd_{t}V_{t}+3m_{p}=nd_{a}V_{a}\\[5pt]
n0,8.100+3.70=n1.0,9.100\\[5pt]
90n-80n=210\\[5pt]
10n=210\\[5pt]
n=\frac{210}{10}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{n=21\;\text{toras}}
\end{gather}
\]
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