Um cilindro circular reto, de altura h = 30 cm e área da base A = 10 cm2,
flutua na água, em posição vertical tendo 2/3 de sua altura imersa, aplica-se axialmente na base superior
uma força F passando o cilindro a ter 5/6 de sua altura imersa. Determine:
a) Qual a densidade do cilindro relativa à água?
b) Qual a intensidade da força F?
Dados: g = 9,8 m/s2, densidade da água = 1 g/cm3.
Dados do problema:
- Altura do cilindro: h = 30 cm;
- Área da base do cilindro: A = 10 cm2;
- Fração da altura do cilindro inicialmente imersa: \( h_{1}=\dfrac{2}{3}h \);
- Fração da altura do cilindro imersa depois de aplicada a força: \( h_{2}=\dfrac{5}{6}h \);
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2;
- Densidade da água: da = 1 g/cm3.
Solução
Em primeiro lugar vamos converter a aceleração da gravidade dada em metros por segundo por segundo
(m/s
2) para centímetros por segundo por segundo (cm/s
2).
\[
g=9,8\;\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}^{2}}.\frac{100\;\text{cm}}{1\;\cancel{\text{m}}}=980\;\text{cm/s}^{2}
\]
a) Na situação inicial atuam no cilindro a força peso
(
\( \vec{P} \))
e a força de empuxo
(
\( {\vec{E}}_{1} \))
devido ao volume de água deslocada pela altura
h1 imersa do cilindro (Figura 1).
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade temos a massa do corpo
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}}
\]
onde
d é a densidade do corpo e
V o volume.
Figura 1
\[
\begin{gather}
m=dV \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
P=dVg \tag{III}
\end{gather}
\]
O volume de um cilindro é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=Ah} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
P=dAhg \tag{V}
\end{gather}
\]
A força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{L}g} \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde
mL =
ma é a massa de água deslocada. Usando a expressão
(II) a massa de água deslocado será
\[
\begin{gather}
m_{a}=d_{a}V_{a} \tag{VII}
\end{gather}
\]
onde
da é a densidade da água onde o corpo está imerso e
Va é o volume
de água deslocada. Substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
E_{1}=d_{a}V_{a}g \tag{VIII}
\end{gather}
\]
usando a expressão (IV) para o volume de água deslocada
\[
\begin{gather}
V_{a}=Ah_{1} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
E_{1}=d_{a}Ah_{1}g \tag{X}
\end{gather}
\]
Como o corpo está em equilíbrio a força peso e a força de empuxo se anulam
\[
\begin{gather}
E_{1}=P \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V) e (X) na condição (XI)
\[
\begin{gather}
d_{a}Ah_{1}g=dAhg\\
d_{L}h_{1}=dh\\
\frac{d}{d_{a}}=\frac{h_{1}}{h}
\end{gather}
\]
substituindo a altura do cilindro imersa na água, dado no problema
\[
\frac{d}{d_{a}}=\frac{\frac{2}{3}h}{h}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d}{d_{a}}=\frac{2}{3}}
\]
b) Na situação final temos a força externa (
F) atuando no cilindro. Adotamos um referencial para
baixo, no mesmo sentido da aceleração da gravidade, para que o cilindro permaneça em equilíbrio a
somatória das forças deve ser nula (Figura 2).
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\sum F=0}
\]
\[
\begin{gather}
P+F-E_{2}=0 \tag{XII}
\end{gather}
\]
o empuxo
\( {\vec{E}}_{2} \)
é devido ao volume de água deslocada pela altura
h2 imersa do cilindro. Substituindo a
expressões (V) e (X), para a altura
h2, em (XII)
\[
\begin{gather}
dAhg+F=d_{a}Ah_{2}g\\
F=d_{a}Ah_{2}g-dAhg
\end{gather}
\]
Figura 2
substituindo a densidade do cilindro em relação à água encontrada no item anterior
\[
F=d_{a}A\frac{5}{6}hg-\frac{2}{3}d_{a}Ahg
\]
colocando a densidade da água (
da), a área do cilindro (
A), a altura do cilindro
(
h) e a aceleração da gravidade (
g) em evidência do lado direito da igualdade
\[
F=d_{a}Ahg\left(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\right)
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 6 e 3 é 12
\[
\begin{gather}
F=d_{a}Ahg\left(\frac{2.5-4.2}{12}\right)\\
F=d_{a}Ahg\left(\frac{10-8}{12}\right)\\
F=d_{a}Ahg\left(\frac{2}{12}\right)
\end{gather}
\]
simplificando o numerador e denominador do termo entre parênteses por 2
\[
\begin{gather}
F=d_{a}Ahg\left(\frac{2:2}{12:2}\right)\\
F=\left(\frac{1}{6}\right)d_{a}Ahg
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
F=\left(\frac{1}{6}\right).1.10.30.980\\
F=50.980
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{F=49000\;\text{dinas}}
\]
Observação: dina é a unidade de força no sistema CGS de unidades.