Exercício Resolvido de Fluidos
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Um cilindro circular reto, de altura h = 30 cm e área da base A = 10 cm2, flutua na água, em posição vertical tendo 2/3 de sua altura imersa, aplica-se axialmente na base superior uma força F passando o cilindro a ter 5/6 de sua altura imersa. Determine:
a) Qual a densidade do cilindro relativa à água?
b) Qual a intensidade da força F?
Dados: g = 9,8 m/s2, densidade da água = 1 g/cm3.


Dados do problema:
  • Altura do cilindro:    h = 30 cm;
  • Área da base do cilindro:    A = 10 cm2;
  • Fração da altura do cilindro inicialmente imersa:    \( h_{1}=\dfrac{2}{3}h \);
  • Fração da altura do cilindro imersa depois de aplicada a força:    \( h_{2}=\dfrac{5}{6}h \);
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2;
  • Densidade da água:    da = 1 g/cm3.
Solução

Em primeiro lugar vamos converter a aceleração da gravidade dada em metros por segundo por segundo (m/s2) para centímetros por segundo por segundo (cm/s2).
\[ g=9,8\;\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}^{2}}.\frac{100\;\text{cm}}{1\;\cancel{\text{m}}}=980\;\text{cm/s}^{2} \]
a) Na situação inicial atuam no cilindro a força peso (\( \vec{P} \)) e a força de empuxo (\( {\vec{E}}_{1} \)) devido ao volume de água deslocada pela altura h1 imersa do cilindro (Figura 1).
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{I} \end{gather} \]
Da expressão da densidade temos a massa do corpo
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \]
onde d é a densidade do corpo e V o volume.

Figura 1

\[ \begin{gather} m=dV \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} P=dVg \tag{III} \end{gather} \]
O volume de um cilindro é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=Ah} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} P=dAhg \tag{V} \end{gather} \]
A força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{L}g} \tag{VI} \end{gather} \]
onde mL = ma é a massa de água deslocada. Usando a expressão (II) a massa de água deslocado será
\[ \begin{gather} m_{a}=d_{a}V_{a} \tag{VII} \end{gather} \]
onde da é a densidade da água onde o corpo está imerso e Va é o volume de água deslocada. Substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} E_{1}=d_{a}V_{a}g \tag{VIII} \end{gather} \]
usando a expressão (IV) para o volume de água deslocada
\[ \begin{gather} V_{a}=Ah_{1} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} E_{1}=d_{a}Ah_{1}g \tag{X} \end{gather} \]
Como o corpo está em equilíbrio a força peso e a força de empuxo se anulam
\[ \begin{gather} E_{1}=P \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V) e (X) na condição (XI)
\[ \begin{gather} d_{a}Ah_{1}g=dAhg\\ d_{L}h_{1}=dh\\ \frac{d}{d_{a}}=\frac{h_{1}}{h} \end{gather} \]
substituindo a altura do cilindro imersa na água, dado no problema
\[ \frac{d}{d_{a}}=\frac{\frac{2}{3}h}{h} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{d}{d_{a}}=\frac{2}{3}} \]

b) Na situação final temos a força externa (F) atuando no cilindro. Adotamos um referencial para baixo, no mesmo sentido da aceleração da gravidade, para que o cilindro permaneça em equilíbrio a somatória das forças deve ser nula (Figura 2).
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\sum F=0} \]
\[ \begin{gather} P+F-E_{2}=0 \tag{XII} \end{gather} \]
o empuxo \( {\vec{E}}_{2} \) é devido ao volume de água deslocada pela altura h2 imersa do cilindro. Substituindo a expressões (V) e (X), para a altura h2, em (XII)
\[ \begin{gather} dAhg+F=d_{a}Ah_{2}g\\ F=d_{a}Ah_{2}g-dAhg \end{gather} \]

Figura 2

substituindo a densidade do cilindro em relação à água encontrada no item anterior
\[ F=d_{a}A\frac{5}{6}hg-\frac{2}{3}d_{a}Ahg \]
colocando a densidade da água (da), a área do cilindro (A), a altura do cilindro (h) e a aceleração da gravidade (g) em evidência do lado direito da igualdade
\[ F=d_{a}Ahg\left(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\right) \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 6 e 3 é 12
\[ \begin{gather} F=d_{a}Ahg\left(\frac{2.5-4.2}{12}\right)\\ F=d_{a}Ahg\left(\frac{10-8}{12}\right)\\ F=d_{a}Ahg\left(\frac{2}{12}\right) \end{gather} \]
simplificando o numerador e denominador do termo entre parênteses por 2
\[ \begin{gather} F=d_{a}Ahg\left(\frac{2:2}{12:2}\right)\\ F=\left(\frac{1}{6}\right)d_{a}Ahg \end{gather} \]
substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} F=\left(\frac{1}{6}\right).1.10.30.980\\ F=50.980 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {F=49000\;\text{dinas}} \]

Observação: dina é a unidade de força no sistema CGS de unidades.
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